Het Brouwer-Fixed-Point-Theorem
....Daar is dit namelijk een speciaal geval van.
't Is eigenlijk het verhaal van de monniken, maar dan  in twee (en meer) dimensies.
Om het theorema te bewijzen hebben we "Sperner's Lemma" nodig, dus laten we daarmee beginnen.
Verdeel een driehoek met hoekpunten Rood, Blauw en Groen in allemaal kleinere driehoeken. Ga vervolgens ook de hoekpunten van deze kleinere driehoeken een kleur geven volgens deze twee regels:
1.  Een hoekpunt op een zijde van de oorspronkelijke driehoek moet de kleur van één van beide hoekpunten die bij die zijde horen krijgen
2. De andere hoekpunten zijn willekeurig te kleuren.

Hiernaast zie je een mogelijkheid.
Sperner's Lemma zegt nu 
"Er is altijd minstens één driehoek met alle drie de kleuren"

Dat kun je als volgt bewijzen.

Ga alle driehoeken in de figuur langs, en tel het aantal rood-blauwe zijden.

Noem nu:
A = aantal rood-blauwe zijden van driehoeken die rood-blauw-blauw of rood-rood-blauw zijn.
B = aantal rood-blauwe zijden ten gevolge van rood-blauw-groene driehoeken.
T = totaal aantal rood-blauwe zijden.

Dan is T = A + B want andere driehoeken leveren geen rood-blauwe zijden.
Laten we eerst T bepalen. Er zijn twee soorten rood-blauwe zijden, namelijk zijden binnen in de driehoek, en zijden die een deel van de omtrek zijn. Van de eerste soort zullen we een even aantal vinden, omdat we elke zijde dubbel meetellen (hoort bij twee driehoeken).
De tweede soort vinden we alleen op de oorspronkelijke rood-blauwe kant van de grote driehoek. Als we daarop vanaf het begin punten gaan toevoegen, dan zien we dat er vier mogelijkheden zijn:
Een rode komt tussen twee roden, een blauwe komt tussen twee roden, enz.
In de figuur hierboven zien we dat bij elk van die vier mogelijkheden het totaal aantal rood-blauwe zijden gelijk blijft of twee groter wordt. Omdat we oorspronkelijk begonnen met één rood-blauwe zijde, zal het aantal rood-blauwe zijden op de omtrek een oneven aantal zijn.

T is dus de som van een even aantal (binnenin) plus een oneven aantal (op de zijde) en zal dus oneven zijn.

Omdat elke driehoek van soort A twéé rood-blauwe zijden bijdraagt zal getal A een even getal zijn.
Omdat T = A + B met T oneven en A even, zal B dus een oneven aantal moeten zijn.
Dus de rood-blauw-groene driehoeken leveren een oneven aantal rood-blauwe zijden. Dat is dus niet NUL, dus moet er minstens één rood-groen-blauwe driehoek zijn. Daarmee is Sperner's Lemma bewezen.

Over naar Brouwer's Fixed Point Theorem.
Eerst gaan we een coördinatenstelsel in de driehoek aanleggen. Dat doen we door "Driehoekscoördinaten" te nemen. Hiernaast staat hoe het werkt. Elk punt wordt gegeven door 3 coördinaten (x1, x2, x3) die samen 1 zijn. Welke je waar moet aflezen kun je aan de kleuren in de figuur hiernaast zien.
Als we de volgorde rood-blauw-groen nemen heeft het gele punt binnen de driehoek coördinaten (0.5 , 0.3 , 0.2)  en het gele punt op de rand  is het punt (0, 0.4 , 0.6). (De coördinaten stellen eigenlijk de gewichten voor die je op de hoekpunten zou moeten zetten om het zwaartepunt in het betreffende punt te krijgen, en worden ook wel "barycentrische" coördinaten genoemd)

Stel nu dat we een continue functie hebben die elk punt (x1, x2, x3) laat overgaan in een punt (x1', x2', x3').
Dan verdelen we de driehoek in allemaal hele kleine driehoekjes (zoals bij Sperner's Lemma) en gaan hem kleuren. Dat doen we volgens de volgende kleurregel:

Zoek de eerste coördinaat die bij het beeld kleiner is dan bij het origineel en geef het punt de kleur van die coördinaat
Als bijvoorbeeld punt (0.2 , 0.4 , 0.4) wordt afgebeeld op  (0.5 , 0.3 , 0.2) dan wordt het punt BLAUW omdat de tweede coördinaat de eerste is die kleiner is.
Dat lukt altijd; de coördinaten kunnen niet alledrie groter zijn omdat ze som 1 hebben. Als ze alle drie precies gelijk zijn hebben we meteen Brouwers Fixed Point bewezen.
Wat gebeurt er met punten op bijvoorbeeld de onderste rood-blauwe zijde? Die hebben coördinaten (x1 , x2, 0) en krijgen nieuwe coördinaten (x1', x2', x3'). Dan moet één van de eerste twee coördinaten van het beeld wel kleiner zijn dan die van het origineel. Allebei groter kan niet, wan x1 + x2 = 1, en als eentje groter is moet de ander wel kleiner zijn).  Kortom een punt op zijde rood-blauw wordt rood of blauw. Hetzelfde geldt voor de andere zijden, ga dat zelf maar na.
Conclusie: de kleuring van de punten is dezelfde als die bij Sperners Lemma.  Dus weten we dat er altijd een driehoek zal zijn met alledrie de kleuren.

Maak nu een verdeling in driehoeken en zoek de driehoek met alle kleuren. Doe dat nogmaals, maar nu kleinere driehoeken. Dan wéér kleinere driehoeken en ga zo alsmaar door (maak de driehoekenverdeling zo klein als je maar wilt). 
Elke keer zal er een driehoek zijn met alle kleuren (misschien wel meerderen). Die kan in het begin wel steeds op een andere plaats zitten, maar als de stapjes klein genoeg worden zul je uiteindelijk ergens een klein driehoekje krijgen dat "naar een punt P toegaat" (dat zal zo zijn als de driehoekjes klein genoeg zijn om de schommelingen in f  niet meer te"zien", want die schommelingen zijn eindig groot omdat f continu is).
Maar steeds zal blijven gelden  x1'£ x1 en x2'£ x2 en x3'£ x3.  Omdat de som van de coördinaten 1 is, en de coördinaten (haast) niet meer veranderen, moet uiteindelijk gelden  x1'» x1 en x2'» x2 en x3'» x3. Waarbij "»" betekent "zo nauwkeurig als je maar wilt". Dus is het punt P een  "fixed point" waarvoor geldt  f (P) = P.

Het is het punt op de kaart dat precies boven zichzelf terechtkomt!

Het kan ook in drie dimensies natuurlijk:
Als je in een kop koffie roert is er na afloop minstens één koffiedeeltje dat zich op precies dezelfde plaats als in het begin bevindt....

 

En heel direct kun je inzien dat er zo'n fixed-point moet zijn als de kaart nadat er functie f op is toegepast gelijkvormig is met de originele. Hiernaast staat in het bovenste plaatje zo'n geval getekend.

Nu kunnen we het beeld als nieuw origineel kiezen en precies dezelfde functie weer toepassen. Dat geeft een tweede beeld.
Als we zo alsmaar doorgaan krijg je een serie beelden die naar een punt convergeren.

Dat is ons gezochte fixed-point!
Trouwens wist je dat je de haren op een kokosnoot niet zó kunt kammen dat er geen kruin is!
En waarom staat deze flauwekul hier nou zomaar?
Nou, 't is gewoon een toepassing van het fixed-point-theorema!
Beschouw het begin van de haren als x en het punt waar de haren eindigen als f(x). 
De kruin is het punt waar f(x) = x
Nog zo'n vreemde bewering:
Op het aardoppervlak is er altijd een punt waar het volledig windstil is.