P weet het niet.
Dan heeft het getal xy niet precies 2 echte delers.
(echte delers zijn delers die niet gelijk zijn aan 1 of het
getal zelf)
Dus is xy niet het product van 2 priemgetallen.
xy kan ook niet een priemgetal tot de derde macht zijn,
want als xy = p3 is de enige
mogelijkheid x = p en y = p2.
Ook varianten als xy = 242 = 2 • 112 vallen
af, want dat kan alleen maar worden 22 • 11 of 2 • 121
maar de laatste is niet toegestaan omdat 121 meer dan 100 is.
Noem een paar x, y dat een product geeft waaruit je x
en y meteen kunt bepalen een verradend paar.
S wist dat P het niet wist.
Dat betekent dat alle mogelijke paren getallen die x
+ y opleveren geen enkel paar verradend is.
Zo vallen alle even x + y al af, omdat het
vermoeden van Goldbach zegt dat elk even getal als som van 2
priemgetallen te schrijven is, en in dat geval zou P het wél
weten.
Als je alle mogelijkheden nagaat blijven er voor x + y
nog 10 mogelijkheden over:
|
11 17
23 27 29
35 37 41
47 53 |
|
|
Nu weet P het wél
Dan kunnen we xy dus ontbinden in twee factoren waarvan
de som in deze lijst van 10 staat.
De tabel hiernaast geeft alle mogelijkheden voor xy (76
stuks maar liefst)
xy staat niet in deze tabel als er geen ontbinding mogelijk
is van twee factoren die een som uit de tabel rechts hebben.
Maar xy staat er ook niet in als er meerdere mogelijke
ontbindingen in twee factoren met som hierboven zijn.
(bijvoorbeeld 30 = 2 • 15 = 5 • 6 en zowel 2 + 15 als
5 + 6 staan in de tabel hierboven).
Nu weet S het óók
Dan moet er een som x + y zijn die maar
één keer in de tabel voorkomt.
Dat is inderdaad zo; som 17. Dus x = 4 en y
= 13 en xy = 52 en x + y = 17
|
P |
x |
y |
S |
18 |
2 |
9 |
11 |
24 |
3 |
8 |
11 |
28 |
4 |
7 |
11 |
52 |
4 |
13 |
17 |
76 |
4 |
19 |
23 |
112 |
7 |
16 |
23 |
130 |
10 |
13 |
23 |
50 |
2 |
25 |
27 |
92 |
4 |
23 |
27 |
110 |
5 |
22 |
27 |
140 |
7 |
20 |
27 |
152 |
8 |
19 |
27 |
162 |
9 |
18 |
27 |
170 |
10 |
17 |
27 |
176 |
11 |
16 |
27 |
182 |
13 |
14 |
27 |
54 |
2 |
27 |
29 |
100 |
4 |
25 |
29 |
138 |
6 |
23 |
29 |
154 |
7 |
22 |
29 |
168 |
8 |
21 |
29 |
190 |
10 |
19 |
29 |
198 |
11 |
18 |
29 |
204 |
12 |
17 |
29 |
208 |
13 |
16 |
29 |
96 |
3 |
32 |
35 |
124 |
4 |
31 |
35 |
150 |
5 |
30 |
35 |
174 |
6 |
29 |
35 |
196 |
7 |
28 |
35 |
216 |
8 |
27 |
35 |
234 |
9 |
26 |
35 |
250 |
10 |
25 |
35 |
276 |
12 |
23 |
35 |
294 |
14 |
21 |
35 |
304 |
16 |
19 |
35 |
306 |
17 |
18 |
35 |
160 |
5 |
32 |
37 |
186 |
6 |
31 |
37 |
232 |
8 |
29 |
37 |
252 |
9 |
28 |
37 |
270 |
10 |
27 |
37 |
322 |
14 |
23 |
37 |
336 |
16 |
21 |
37 |
340 |
17 |
20 |
37 |
180 |
5 |
36 |
41 |
114 |
3 |
38 |
41 |
148 |
4 |
37 |
41 |
238 |
7 |
34 |
41 |
288 |
9 |
32 |
41 |
310 |
10 |
31 |
41 |
348 |
12 |
29 |
41 |
364 |
13 |
28 |
41 |
378 |
14 |
27 |
41 |
390 |
15 |
26 |
41 |
400 |
16 |
25 |
41 |
408 |
17 |
24 |
41 |
414 |
18 |
23 |
41 |
418 |
19 |
22 |
41 |
132 |
3 |
44 |
47 |
172 |
4 |
43 |
47 |
246 |
6 |
41 |
47 |
280 |
7 |
40 |
47 |
370 |
10 |
37 |
47 |
396 |
11 |
36 |
47 |
442 |
13 |
34 |
47 |
462 |
14 |
33 |
47 |
480 |
15 |
32 |
47 |
496 |
16 |
31 |
47 |
510 |
17 |
30 |
47 |
522 |
18 |
29 |
47 |
532 |
19 |
28 |
47 |
540 |
20 |
27 |
47 |
546 |
21 |
26 |
47 |
550 |
22 |
25 |
47 |
552 |
23 |
24 |
47 |
|