De gevangenen doen het volgende:

Zij spreken eerst een volgorde af
Ze zouden de gewone alfabetische volgorde kunnen nemen, maar ook elke willekeurige andere. Ze noemen elkaar vanaf nu  A, B, C, D, .... van die volgorde (verzin 50 letters).
De dozen in de kamer staan natuurlijk óók in een bepaalde volgorde maar dat zal vast niet dezelfde volgorde zijn als die van de gevangenen.
Het is er wel een permutatie van....

Laten we een geval bekijken. Hier staat bijvoorbeeld de volgorde van de eerste 10 dozen van de kamer (naam geeft de foto van welke gevangene er in zit):

Deze letters zijn natuurlijk nog niet te zien door de gevangenen immers de dozen zijn nog dicht.
De gevangenen geven de dozen echter ook een NAAM:  ze noemen de eerste doos A, de tweede B, enz.
Dat geeft:

En nou de grote truc:

Elke gevangene gaat eerst naar de doos die zijn eigen naam heeft.
Die maakt hij open en hij bekijkt de foto.
Daarna gaat hij naar de doos die de naam heeft van de persoon op die foto!
Die maakt hij open en hij bekijkt de foto.
Daarna gaat hij naar de doos die de naam heeft van de persoon op die foto!
enz.
Laten we in het voorbeeld hierboven gevangene A volgen:

Hij maakt doos A open en ziet de foto van G.
Hij maakt doos G open en ziet de foto van B.
Hij maakt doos B open en ziet de foto van D.
Hij maakt doos D open en ziet de foto van H.
Hij maakt doos H open en ziet de foto van C.
Hij maakt doos C open en ziet de foto van zichzelf:  GELUKT!

Wanneer werkt dit?

Een gevangene gaat een rijtje letters volgen.
Gevangene A bijvoorbeeld de letters A - G - B - D - H - C - A - ...
Als een gevangene in dat rijtje zijn eigen naam tegenkomt dan moet hij naar zijn eigen doos en zou het proces zich gaan herhalen. Dan is zijn missie gelukt want dan heeft hij zijn eigen foto gevonden.

Zo'n rijtje dat zich gaat herhalen noemen we een LUS.

En nou komt het:  Dit gaat alleen mis als er een lus is die langer is dan 25.
Als een gevangene begint in een lus die korter is dan 25 komt hij gegarandeerd zijn eigen foto tegen, immers dan wordt hij binnen 25 beurten naar de begindoos gestuurd, en dat kan alleen maar zijn door zijn eigen foto!

Met dit systeem is de vraag geworden:

Hoe groot is de kans op een lus van meer dan 25?
(merk alvast op dat er nooit meer dan één zo'n lus kan zijn omdat meer dan  de helft van de dozen al in déze lus zitten)

Dat is met combinaties vrij eenvoudig te berekenen:

Hoeveel rijtjes zijn er met een lus van bijv. 30?
• Kies welke 30 namen er in de lus zitten:  kan op  (50 nCr 30) manieren
• Kies de volgorde van de namen binnen deze lus:  kan op  29! manieren
• Kies de namen van de dozen buiten deze lus:  kan op  20! manieren

Het totaal aantal mogelijke volgorden van deze 50 dozen is 50!
Dus de kans is:

En bij een lus van 18 vind je 1/18 en bij een lus van 42 vind je 1/42 en bij een lus van n vind je 1/n (bewijs het zelf maar).
De kans dat er géén lus van meer dan 25 is, is dan    1 - 1/26 - 1/27 - 1/28 - ... - 1/50 =  0,31675...

Hoe meer gevangenen, des te meer nadert deze kans naar de 30%

Waarom wordt dat 30%?

Omdat geldt  1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n » ln n
Met 2n gevangenen:
kans is  1 - (1/n + 1 + 1/n + 2 + ... + 1/2n) =
= 1 - (1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/n + 1 + 1/n + 2 + ... + 1/2n) + (1/1 + 1/2 + ... + 1/n)
1 - ln 2n + ln n = 1 - ln2 en dat is iets meer dan 30%
Het omgekeerde probleem.
Wat zou de oplossing zijn als elke gevangene in minstens 25 dozen MOET kijken en dat de voorwaarde is dat NIEMAND zijn eigen foto vindt?

't Is altijd leuk als een probleem en het omgekeerde van een probleem dezelfde oplossing hebben en dat is hier zo!
De gevangenen moeten dezelfde tactiek volgen. Ze zullen alleen slagen in hun opdracht als elke lus meer dan 25 dozen heeft, en dat is dus zo als er één grote lus van 50 dozen is. De vraag had dan trouwens net zo goed kunnen zijn dat elke gevangene in minstens 49 dozen moest kijken!!!!! Dezelfde kans!