We gaan natuurlijk het hele
mogelijke rijgedrag van zo'n treintje niet analyseren.
Ben je gek!
Laten we het treintraject per stukje van 50 km bekijken.
Stel dat het treintje over het eerste stuk van 50 km (noem het
AB) MINDER dan 60 minuten doet.
Dan schuiven dat stuk AB een héééééél klein beetje (infinitesimaal?)
op. Dat geeft CD.
Heeft het treintje over CD MEER dan 60 minuten gedaan, dan waren
we te ver en schuiven we terug naar EF ertussenin. Daarover deed
het treintje MEER of MINDER dan 12 minuten. We gaan nu net
zolang heen en weer schuiven tussen AB en CD tot we een lijnstuk
(YZ?) vinden waarover het treintje exact 60 minuten deed. Dat is
altijd te vinden want van MINDER naar MEER kan alleen maar via
PRECIES 60.
Heeft het treintje over CD wéér minder dan 60 minuten
gedaan, dan schuiven we verder naar EF.
Enzovoorts totdat we een lijnstuk vinden waarover meer dan 60 minuten werd gedaan en dan gaat meteen het systeem hierboven
weer in werking.
En dat MOET wel gebeuren want als je alleen maar lijnstukken
blijft vinden met MINDER dan 60 minuten, dan wordt de totale
gemiddelde snelheid óók minder dan 50 km/uur.
Hetzelfde verhaal geldt uiteraard als het eerste lijnstuk MEER
dan 60 minuten duurt.
En als het PRECIES 60 minuten duurt zijn we al direct klaar! Wiskundig
gezien komt het eigenlijk hier op neer:
Beschouw de functie G(x) met G = gemiddelde snelheid over
het stuk van x tot x + 50
Dan is G(x) een continue functie. Er kunnen geen sprongen
in de gemiddelde snelheden zitten, want dan zou het treintje een
stuk hebben overgeslagen.
Teken nu de grafiek van G en ook de lijn y = 50.
De grafiek van G kan niet helemaal boven die van y = 50
liggen, want dan zou de gemiddelde snelheid over het totale stuk
meer dan 50 zijn. Maar helemaal eronder kan ook niet; dan zou de
gemiddelde snelheid minder dan 50 zijn. De grafiek van G ligt
dus deels boven en deels onder de lijn y = 50 (of precies
erop, maar dat is een triviale oplossing; dan reed het treintje
de hele weg exact 50 km/uur). Maar omdat G continu is, moet de
grafiek van G de lijn y = 50 dan ergens snijden.
Dat snijpunt geeft een stuk van 50 km aan waarover precies een
uur is gedaan. |