Hoeveel eieren?
Dit is er eentje van een hele serie raadsels.
Wiskundig gezien zijn die allemaal terug te brengen op het vinden van een geheel getal x dat voldoet aan het volgende stelsel vergelijkingen:
x = x1  (mod m1)
x = x2  (mod m2)
...
x = xi  (mod mi)
We gaan x opsporen door de vergelijkingen per paar op te lossen.
Nou geldt er voor twee zulke vergelijkingen het  volgende:
Het stelsel
x = x1  (mod m1)
x = x2  (mod m2)

is alleen op te lossen als x1 = x2 (mod ggd(m1, m2))
en de oplossing is eenduidig mod(kgv(m1, m2))
ggd staat voor grootste gemene deler en kgv voor kleinste gemene veelvoud.

Bewijs:
De eerste vergelijking geeft  x = pm1 + x1 en de tweede  x = qm2 + x2
Dat geeft samen  pm1 + x1=  qm2 + x2  ofwel   pm1- qm2 = x2 - x1
De linkerkant is deelbaar door ggd(m1, m2) dus moet de rechterkant dat ook zijn.
Dat bewijst de eerste bewering.

Stel dat twee oplossingen a en b aan beide vergelijkingen voldoen.
Trek ze van elkaar af:  a - b = 0 (mod m1)  en  a - b = 0 (mod m2)
Daaruit volgt  a - b = 0 mod(kgv(m1,m2))
Dat bewijst de tweede bewering.
Het oplossen
Dat gaat het handigst met een getallenvoorbeeld.
Neem het stelsel:
x = 2 mod 3
x = 4 mod 5
x = 6 mod 7 

De eerste geeft  x = a • 3 + 2
Invullen in de tweede geeft  a • 3 + 2 = 4 mod 5  Þ  3a = 2 mod 5
dat betekent 3a = 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, ...
Haal de gehele  a eruit:   a = 4, 9, 14, 19  ofwel  a = 4 mod 5

Dat wil zeggen  a = 5b + 4
Substitueren in x = 3a + 2  geeft  x = 3(5b + 4) + 2 = 15b + 14

Deze gaan we invullen in de derde vergelijking:
15b + 14 = 6 (mod 7)
veelvouden van 7 er afhalen:  b = 6 mod 7
Dus  b = 7c + 6

Weer invullen in de vergelijking voor x:   x = 15b + 14 = 15(7c + 6) + 14 = 105c + 104
105 is inderdaad het kgv van 3, 5 en 7.
Dat geeft de oplossingen  104, 209, 313, ....
Terug naar het arme vrouwtje
Het op te lossen stelsel is:
x = 1 mod 2
x = 1 mod 3
x = 1 mod 4
x = 1 mod 5
x = 1 mod 6
x = 0 mod 7  

Stap voor stap geeft dat volgens het recept hierboven:
x = a • 2 + 1
a• 2 + 1 = 1 mod 3
a • 2 = 0 mod 3 = 0,3,6,9,12,...
a = 0,6,12, 18,... = 0 mod 6

a = 6b
x = 12b + 1
12b + 1 = 1  mod 4
12b = 0 mod 4 = 0, 4,8,12,16,20,24,28,32,36
b = 0, 1, 2, 3, ... = 0 mod 1

b = c
x = 12c + 1
12c + 1 = 1 mod 5
12c = 0 mod 5
7c = 0 mod 5  = 0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,
c = 0, 5, 10, 15, ... = 0 mod 5

c = 5d
x = 12(5d) + 1 = 60d + 1
60d + 1 = 1 mod 6
60d = 0 mod 6
d = 0, 1, 2, 3, ... = 0 mod 1

d = e
x = 60e + 1
60e + 1 = 0 mod 7
60e = 6 mod 7
4e = 6 mod 7 = 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 66, 70, ...
e = 5 mod 7
e = 7f + 5
x = 60(7f + 5) + 1 = 420f + 301

oplossing:  aantal eieren  is  301, 721, 1141, ... dus het kleinste aantal is 301

2.  Het missende cijfer.
229  bestaat uit 9 verschillende cijfers.  Welk cijfer mist er?
(Uiteraard los je dit op zonder 229 uit te rekenen, dat spreekt voor zich).