Stel dat a en b
de twee getallen zijn die aan respectievelijk A en B zijn
verteld (a is de som en b het aantal delers)
Dan kan b niet groter dan 12 zijn!
Dat heeft te maken met de volgende stelling:
|
Als de priemfactorontbinding van een getal
gelijk is aan p1i
p2 j p3k
...
Dan is het aantal positieve delers van dat getal
gelijk aan D = (i + 1)(j +
1)(k + 1) ..... |
|
Om een deler te vinden kun je elke combinatie van priemfactoren
nemen.
Voor de factoren p1 zijn er i + 1
mogelijkheden; je kunt er 0 tm i van nemen. Voor p2
zijn er j + 1 mogelijkheden, enzovoorts.
In totaal geeft dat het aantal mogelijkheden uit de stelling.
Daarmee is de stelling bewezen.
Twee vaststellingen:
| 1. |
Geen enkel 2-cijferig
getal heeft meer dan 3 verschillende priemfactoren, want
de kleinste mogelijkheid zou zijn 2 3 5 7 en
dat is 210, en dat is al drie cijfers. Met precies 3
priemfactoren zijn er ook maar 5 getallen:
30 = 2 2 5, 42
= 2 3 7 , 66
= 2 3 11 , 70
= 2 5 7 en 78
= 2 3 13
Die hebben allemaal dus D =
8 |
|
|
| 2. |
Verder heeft ook geen
enkel 2-cijferig getal van een priemfactor meer dan 6
stuks, omdat de kleinste mogelijkheid zou zijn 27
= 128 en dat is ook al te groot. Met mιιr dan 4
dezelfde priemfactoren zijn er slechts 3 getallen: (het
aantal delers staat er rod achter)
64 = 26 (D
= 7), 32 = 25
(D = 6) en
96 = 25 3 (D
= 12)
Zelfs exponent 4 komt maar in 4 getallen voor: 24
= 16 (D
= 5), 24 3 = 48
(D = 10) , 24
5 = 80 (D
= 10) en 34 = 81
(D = 5) |
De rest van de getallen is dus van de vorm p1i
p2 j met i,
j £ 3.
Zelfs de mogelijkheid i = j = 3 valt af want het
kleinst mogelijke getal daarmee is 23 33
= 216 en dat is al te groot.
We blijven over met de maximale mogelijkheid van D = 4 3 =
12 delers.
Maar 11 delers is onmogelijk. Dat is een priemgetal en kan
alleen opgebouwd zijn uit i = 0 en j = 10 (D
= 1 11 = 11)
Maar j = 10 heeft als kleinste mogelijkheid 210
= 1024 en dat is al veel te groot.
We blijven over met b = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 12}.
Laten we ze even langslopen. (Bedenk elke keer dat als het
aantal delers oneven is, dat het getal dan een kwadraat is.
Immers alle delers horen 2-aan-2 bij elkaar en alleen de
kwadraten hebben een deler die "bij zichzelf hoort").
| b
= 3 |
Dan
is het getal een kwadraat van een priemgetal.
Dat kan alleen van 5 of 7 (de andere kwadraten
zijn geen 2-cijfer getallen)
Dan zou B inderdaad weten dat het getal oneven was,
immers 52 = 25 en 72 = 49 en
beiden zijn oneven. b = 3 kan dus. |
| b
= 5 |
Dan
is het getal p4. Dat kan alleen maar 24
= 16 of 34 = 81 zijn.
Dan zou B niet weten of het getal even of oneven is, dus
b = 5 valt af. |
| b
= 7 |
Dan
is het getal p6 = 26 = 64.
Dan zou het getal dus al bekend zijn.
Dus b = 7 valt af. |
| b
= 9 |
Dan
is het getal p2 p2.
Dat kan alleen maar 22 32 zijn
want 22 52 is al groter dan
100. Dus zou B het weten. b = 9 valt af. |
| b
= 2 |
Dan
zou het getal een 2-cijferig priemgetal zijn, en dus
oneven. Maar B weet het niet, dus b = 2 valt af. |
| b
= 4 |
Het
kan zijn p p of p3.
De mogelijkheden zijn {10, 14, 15, 21, ....} en
weer is het even of oneven zijn onbekend. Dus valt ook b
= 4 af. |
| b
= 6 |
Kan
zijn p5 of p2 p.
De mogelijkheden zijn {32, 12, 18, 20, 45,...}
Oneven of even is beide mogelijk dus b = 6 valt
af. |
| b
= 8 |
Kan
zijn p3 p of p
p p
De mogelijkheden zijn {24, 30, 40, 42, 54, 56, 60, 70,
78, 88}
Die zijn allemaal even dus b = 6 is mogelijk. |
| b
= 10 |
Kan
zijn p4 p en dat
geeft {48,80} dus deze is mogelijk. |
| b
= 12 |
Kan
zijn p5 p of p3
p2.
Dat geeft {60, 72, 84, 90, 96} dus ook deze is mogelijk. |
Overgebleven is b Ξ {2,
3, 8, 10, 12}
Laten we een nieuwe tabel maken met alle mogelijkheden voor n
(het gezochte getal) en a (de som van de cijfers) en b
(het aantal delers:
| b |
n |
a |
| 2 |
11,13,17,19,23,29,31,37,41,43
47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 |
2,4,8,10,5,11,4,10,5,7
11,8,14,7,13,8,10,16,11,17,16 |
| 3 |
25,49 |
7,13 |
| 8 |
24,30,40,42,54,56,60,70,78,88 |
6,3,4,6,9,11,6,7,15,16 |
| 10 |
48,80 |
12,8 |
| 12 |
60,72,84,90,96 |
6,9,13,9,15 |
Als een getal in de kolommen a vaker zou voorkomen dan
kan A nog niet weten welk getal n is. Maar A weet het
wιl, dus het moet een getal zijn dat in de a-kolommen
maar ιιn keer voorkomt. Dat zijn de vier getallen 2, 3, 14,
17. In al deze gevallen zou A het getal n dus kennen, in
alle andere gevallen niet.
B weet dat A het weet, dus dat a ιιn van de
getallen 2,3,14,17 moet zijn.
Met deze informatie weet B het σσk, en dat kan alleen
het geval zijn als a = 3 (bij a = 2,
14, 17 weet B niet of het 11, 59 of 89 moet zijn)
Conclusie: n =
30 (met a = 3, b = 10)
|