| De raadselboekjes-oplossing | |
| Kennelijk doet de straal van de bol er
niet toe. Neem daarom een bol met straal nul! Na invoegen van een meter is de nieuwe omtrek dus 1 meter, en de straal 1/2p in plaats van Dus het touw staat na afloop 1/2p meter van de bol af. Dat is ongeveer 15,9 cm. |
|
| De "echte" oplossing | |
| Stel de straal is R, dan is de omtrek 2pR De nieuwe omtrek wordt dan 2pR + 1 en dat moet gelijk zijn aan 2p(R + dR) 2pR + 1 = 2pR + 2pdR Þ dR = 1/2p Gaar bijna tegen je gevoel in, nietwaar? Zelfs als we een touw om de aarde spannen, en we doen er een meter tussen, dan staat het touw na afloop overal maar liefst zo'n 16 cm van de grond! |
|
| En als je daar verbaasd over
bent, luister dan eens naar het volgende. Je hebt weer een touw om de aarde gespannen, en doet er nu op de noordpool een meter tussen. Vervolgens trek je het touw zo ver mogelijk omhoog. Hoe hoog komt het hoogste punt dan boven de grond? De oplossing is een beetje ingewikkelder... |
 |
| Stel dat er d meter is
ingevoegd in het touw (in ons geval d = 1) dan geldt: 2a
+ 1 = 2ra Daaruit volgt a/r = a + d/2r Verder is tana = a/r dus is tana = a + d/2r Die vergelijking is voor gegeven waarden van d en r wel numeriek op te lossen maar laten we een schatting maken. d/2r is heel klein (in ons geval d = 1 en r = 6400000) en dan is tan a » a De Maclaurin reeks voor tana is tan a = a + a3/3 + ... en daarmee geeft de rode vergelijking a + a3/3 » a + d/2r ofwel a3 » 3d/2r Verder geldt h = TM - r = r/cosa - r = r • (1 - 1/cosa) De reeksontwikkeling voor 1/cosa is 1/cosa = 1 + a2/2 + ... en invullen geeft h » ra2/2 De twee blauwe formules samen leveren ons h op: h = 0,5 • (1,5)2/3 • d2/3 • r1/3. We zien dat h evenredig is d2/3. De gegevens voor r en d invullen levert een spectaculair resultaat: h » 121,6 meter!!!! |
|