Het is genoeg als we een methode
vinden om alle trommels met n koekjes te verhogen en
één trommel met n + 1 koekjes. Dan wordt die ene
trommel relatief één koekje voller. Zo kunnen we steeds de
leegste voller maken.
Daarvoor zijn per keer 7n + (n + 1) = 8n
+ 1 koekjes nodig.
Omdat we per keer 5 koekjes toevoegen moet gelden 8n
+ 1 = 5k (waarbij k het aantal rondes is)
De eenvoudigste oplossing daarvan is n = 3, k
= 5.
En dat kan inderdaad volgens het vulpatroon:
12345
67812
34567
81234
56781 |
De nummers zijn de nummers van de trommels. Met deze serie
van 5 keer 5 koekjes neemt de inhoud van elke trommel toe met 3
koekjes, en die van trommel 1 met 4 koekjes.
In het oorspronkelijke probleem was de volste trommel die
met 3, en het totale verschil van alle anderen met die trommel
was 14 koekjes. Bovenstaande procedure moet dus 14 keer herhaald
worden, en dat kost in totaal 14 • 25 = 350 koekjes. Na afloop
zitten in elke trommel 45 koekjes.
Nawoord
Het geval van t trommels met per keer p koekjes is
in het algemeen alleen maar op te lossen als t en p
geen gemeenschappelijke factoren hebben.
Dan zijn er gehele getallen a en b te vinden zodat
ap - bt = 1 en dan kunnen we door a
opeenvolgende series te maken ap = bt + 1 koekjes
toevoegen. Dat is bt +1 = b(t - 1) +
(b + 1) ofwel b koekjes aan alle
trommels, maar b + 1 aan de eerste.
Als t en p wél een gemeenschappelijke factor d
hebben, dan kunnen we het aantal koekjes in een trommel ten
opzichte van een andere trommel alleen maar met een veelvoud van
d laten veranderen. |