Nieuwe pagina 1



1.	Toon met de formule van de afgeleide aan dat de grafiek van y = ^{(2x + 2)}/_{(x - 1)} overal daalt.

2.	Onderzoek met de grafiek van de afgeleide op welk interval de grafiek van y = 2x³ - 3x² - 36x toenemende stijging vertoont.

3.	In welk punt is de helling van y = 6x² - x³ maximaal?



OPLOSSING

1.
	De teller is negatief, de noemer is overal positief (want een kwadraat) dus de afgeleide is overal negatief.

2.	y ' = 6x² - 6x - 36 Dat is een dalparabool met nulpunten (3,0) en (-2,0) en top bij x = 0,5 die is positief en stijgend voor x > 3 Dus f vertoont toenemende stijging voor x > 3

3.	y ' = 12x - 3x² Dat is een bergparabool met maximum bij x = 2 Dus in het punt (2, 16) is de helling van f maximaal.


Redeneren met de afgeleide.

Je kunt m.b.v. de afgeleide conclusies trekken over de vorm van de grafiek. Dat kan met de grafiek van de afgeleide of met de formule ervan.

*f '*		f
eigenschap afgeleide		eigenschap functie zelf

afgeleide is positief		grafiek stijgt
	afgeleide stijgt		toenemende stijging
	afgeleide daalt		afnemende stijging
	afgeleide is constant		constante stijging
	afgeleide is maximaal		grootste stijging
	afgeleide is minimaal		kleinste stijging

afgeleide is negatief		grafiek daalt
	afgeleide stijgt		afnemende daling
	afgeleide daalt		toenemende daling
	afgeleide is constant		constante daling
	afgeleide is maximaal		kleinste daling
	afgeleide is minimaal		grootste daling

afgeleide is nul		grafiek heeft een horizontale raaklijn:



Als je dus bijvoorbeeld wilt aantonen dat een grafiek afnemende stijging vertoont zul je twee dingen moeten aantonen: 1. Dat de afgeleide positief is ("stijging"). 2. Dat de afgeleide daalt ("afnemend").

Hoe je met een formule kunt redeneren vind je hier.