© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Geef van de volgende rijen een directe vergelijking en een recursievergelijking
Noem de eerste van de rij nummer 1.
       
  a. 12  -  26  -  40  -  54  -  68  -  ....  
       
  b. 40  -  60  -  90  -  135  -  ....  
       
Een octaaf op een piano bestaat uit 12 tonen.
De frequenties van deze tonen vormen een meetkundige rij.
De centrale C van een piano heeft frequentie 256 Hz. De C die twaalf tonen hoger ligt heeft frequentie 512 Hz.

     
  a. Stel een directe en een recursieve formule op voor de frequentie fn van toon nummer n als de C nummer 1 heeft.
     
  b. Bereken vervolgens met beide formules de frequentie van de A uit deze toonladder.
   
Voor een rij getallen geldt dat  u4 = 162  en  u7 = 4374.
       
  a. Bereken u9 als het een rekenkundige rij is
       
  b. Bereken u9 als het een meetkundige rij is.
       
In een grote stad wordt er in de uitgaansgelegenheden steeds meer lachgas verkocht.
Het aantal personen (N) dat lachgas gebruikt neemt per maand met 20 toe.
De hoeveelheid lachgas (L) die per persoon wordt gebruikt neemt per maand met 2% toe.

In januari 2020 (n = 1) wordt er door 320 personen lachgas gebruikt, en men gebruikt gemiddeld 51 mg per persoon.
       
  a. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor  N(n)
       
  b. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor  L(n)
       
  Noem de totale hoeveelheid lachgas (in mg) die er wordt gebruikt  T(n)
       
  c. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor  T(n)
       
  d. Bereken met beide formules van vraag c) wanneer er voor het eerst meer dan 50000 mg lachgas gebruikt zal worden.
       
Gegeven is de rij breuken:  4/9   7/14   10/19    13/24    16/29    .....
       
  a. Geef van zowel de rij getallen in de tellers als die in de noemers de directe formule.
Noem de eerste uit de rij steeds u1.
       
  b. Geef de directe formule van de rij breuken.  
       
  c. Bij welke grenswaarde komt de rij steeds dichter te liggen? Vanaf welke n verschilt un minder dan 0,01 van deze grenswaarde?
     
MEER OPGAVEN
       
6. Omdat de grote wijzer van een klok sneller loopt dan de kleine wijzer haalt hij de kleine wijzer af en toe in.
Op tijdstip t = 0 is het precies 0:00 uur.

De tijdstippen waarop beide wijzers precies op dezelfde plaats staan vormen een rekenkundige rij met  recursieformule  tn = tn - 1 + 720/11  waarbij t in minuten is gegeven.

       
  a. Toon aan dat dat juist is.
       
  b. Geef een directe formule voor deze rij
       
7. Papierformaten zijn niet zomaar gekozen....
Als je een kopietje op A4-papier wilt vergroten naar A3-formaat, dan moet dat A3-papier natuurlijk wel dezelfde verhoudingen hebben als het  A4 papier, anders zou de "vorm" van je plaatje veranderen.
  Verder zijn de papierformaten zó gekozen dat  de lengte van een volgend formaat steeds gelijk is aan de breedte van de vorige. Hiernaast zie je hoe een vel A0-papier is onderverdeeld in steeds kleinere formaten.

     
  a. Als een formaat lengte L en breedte B heeft, dan heeft het volgende formaat dus lengte B en breedte 1/2L.
Laat zien dat daaruit, en uit de gelijkvormigheid van het papier, volgt dat de afmetingen van de verschillende formaten een meetkundige rij vormen met factor √2.
         
  Omdat geldt  L = B√2 en omdat A0 papier een oppervlakte van 1 m2 heeft kun je aantonen dat de afmetingen van A0-papier 1189 bij 841 mm zijn.
         
  b. Geef die afleiding.
       
  c. Geef een directe formule voor de lengte van An-papier.
         
  Ook de oppervlaktes van de opeenvolgende papiersoorten vormen een meetkundige rij.
Daarvoor geldt natuurlijk  On = 1/2 • On-1  met  O0 = 1
         
  d. Onderzoek met deze formule en je GR welk papiernummer voor het eerst een oppervlakte kleiner dan 1 mm2 heeft.
       
  e. Geef een directe formule voor On  en controleer daarmee je antwoord op vraag d).
   
8. Drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij hebben som 13/4 en product 1/8.
       
  a. Welke drie termen zijn dat?
       
  b. En hoe is dat als de rij rekenkundig is?
         
9.

x, y, z vormen een meetkundige rij met reden r 
x, 2y, 3z vormen een rekenkundige rij.

Waaraan is r dan gelijk?
         
10.

Van een een rekenkundige rij u1 - u2 - ... is bekend dat de eerste drie termen samen gelijk zijn aan 12.
Verder is gegeven dat de  u1 - u2 - u6  een meetkundige rijtje  is.

Bereken u10
         
11. Gegeven is de directe vergelijking  u(n) = 92-n • 4n + 1 
Toon algebraďsch aan dat dit een meetkundige rij is, en geef de beginwaarde en de reden.
         
12. Vlaamse Olympiade.
         
 
  Wat is de volgende term?
   
13. De draagtijd van een rat is ongeveer een maand. Iets minder zelfs, en dat betekent dat een rat ongeveer elke maand een nest kan krijgen. Zo'n nest bestaat uit 8 - 12 nieuwe ratten, die ook direct zelf weer nakomelingen kunnen krijgen.
Neem aan dat de helft van de geboren ratten vrouwtjes zijn en de helft mannetjes. Neem verder aan dat elk vrouwtje inderdaad iedere maand (behalve de eerste) een nest van precies 10 ratjes krijgt, en dat er helemaal geen ratten doodgaan. Neem tenslotte (voor het gemak) aan dat het aantal ratten geen geheel getal hoeft te zijn.

Stel dat we beginnen met een populatie van 20 vrouwtjesratten en 20 mannetjesratten
Dan vormt het aantal vrouwtjesratten in de loop van de maanden een meetkundige rij.
         
  a. Laat zien dat dat zo is en geef de reden van die rij.
         
  b. Leg uit waarom het totaal aantal ratten dan ook een meetkundige rij vormt, met dezelfde reden.
         
  Als we de nestgrootte N noemen (in plaats van 10) en het beginaantal ratten B (helft mannetje, helft vrouwtjes) dan geldt de formule:   At = B • (1 + 0,5 • N)t   met A het totaal aantal ratten in maand nummer t.
         
  c. Toon dat aan.    
         
  Voor een bepaalde rattenkolonie werden de volgende tellingen gevonden:
         
 
maand 1 2 3 4
totaal aantal 60 300 1500 7500
         
  d. Bereken de nestgrootte voor deze kolonie ratten
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)