|
|||||||||
 |
|||||||||
| De afstand van een punt tot een lijn. | |||||||||
| In deze les gaan we
een formule afleiden voor de afstand van een punt P toto een lijn l. |
|||||||||
| Neem een lijn l:
ax + by = c en een punt P(xP,
yP). We gaan nu eerst de afstand van de oorsprong tot lijn l berekenen. Zie de figuur hiernaast. punt A: x = 0 dus by = c en y = c/b punt B: y = 0 dus ax = c en x = c/a Met Pythagoras: AB = √((c/b)2 + (c/a)2) In driehoek OSA geldt 1/2 • OS • AB = 1/2 • OA • OB want beiden zijn de oppervlakte van de driehoek. Dat geeft: |
|
||||||||
|
|
|||||||||
| Teken nu de lijn m
door punt P evenwijdig aan l. m is de lijn ax + by = q, en omdat P(xP, yP) daar op moet liggen is het de lijn ax + by = axP + byP Dan kunnen we afstand OT van de oorsprong toto m direct opschrijven: vervang in de formule voor OS gewoon c door axP + byP : |
|
||||||||
|
|
|||||||||
| De afstand van P tot l is ST en dat is OT - OS: | |||||||||
|
|
|||||||||
| Daarmee hebben we een
algemene formule gevonden voor de afstand van een punt P tot een lijn
l. Nog één detail: als die teller negatief is, moet je hem wel
positief maken (een afstand kan immers niet negatief zijn) en dat kan
door er absolute-waarde strepen omheen te zetten. Slotresultaat: |
|||||||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|||||||||
| Sorry, ik kan er ook
niet meer van maken...... Nou, dan komen er nu nog een hele zooi toepassingen...... Die doen we de volgende les. Nou vooruit dan, eentje alvast nu: |
|||||||||
| Toepassing: Lijn op afstand van een gegeven punt. | |||||||||
|
|||||||||
| Let vooral op die eerste stap: daar schrijven we de vergelijking van de lijn met één parameter; door de extra voorwaarde dat de lijn door (2,3) moet gaan is het ons gelukt om de parameter b weg te werken. | |||||||||
|
|
|||||||||
| OPGAVEN | |||||||||
| 1. | a. | Bereken de afstand van punt P(-3, 4) tot de lijn 2x + 5y = 12 | |||||||
| b. | Bereken de afstand van punt Q(8, -2) tot de lijn x + y = 10 | ||||||||
| 2. | Gegeven zijn de lijn 3x - 4y = 8 en het punt A(0, 14). | ||||||||
| a. | Bereken de afstand van punt A tot lijn l . | ||||||||
| b. | Welke twee lijnen door de oorsprong hebben afstand 6 tot punt A ? | ||||||||
| 3. | Punt P ligt op
de lijn y = -3x + 2 Hoeveel moet deze lijn omhoog of omlaag geschoven worden zodat de afstand van P tot de lijn gelijk is geworden aan 8? |
||||||||
| 4. | Punt P heeft
afstand 4 tot de lijn y = x + 2 Als je punt P spiegelt in de y-as krijg je een punt Q en dat punt Q heeft afstand 8 tot de lijn y = x + 2 Bereken de coördinaten van P en Q . |
||||||||
| 5. | Gegeven is parallellogram OABC met O(0, 0) en A(5, 2) en B(5, 5) | ||||||||
 |
|||||||||
| a. | Bereken de afstand van punt B tot de diagonaal AC. | ||||||||
| b. | Gebruik die afstand om de oppervlakte van het parallellogram te berekenen. | ||||||||
| c. | Controleer je antwoord op vraag b) door het parallellogram "in te lijsten" (dat doe je in dit geval door er een vierkant met zijden 7 omheen te tekenen) | ||||||||
 |
|||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||
