© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gemengde opgaven GR  
       
   
1. Het aantal mobieltjes in Nederland neemt sterk toe. Een conciërge van een middelbare school heeft een poosje bijgehouden hoeveel mobieltjes er waren onder de leerlingen.
De man heeft wiskunde in zijn pakket gehad en ontwikkelt de formule 
 

A(t) = 16 • 1,22t
       
  a. Bereken met deze formule wanneer er voor het eerst 700 mobieltjes zullen zijn.
   
  Maar dat is een beetje raar: : de school heeft maar 600 leerlingen, dus het model van de conciërge kan nooit kloppen. Haastig en met een rood hoofd stelt de man een nieuwe formule op:
       
 

       
  b. Bereken met deze formule wanneer er voor het eerst 400 mobieltjes zullen zijn.
       
  c. Onderzoek wanneer beide modellen een verschil van ongeveer 120 mobieltjes geven.
       
  d. Zullen er volgens deze tweede formule op deze school ooit 400 mobieltjes komen? en 450? en 500?
       
2. De voorraadkosten van een verffabriek vertonen in de jaren 1981/1982 het volgende verloop:
       
 

       
  Het normale niveau van de voorraadkosten bedraagt  €10000,-
Het punt 0 op de horizontale as correspondeert met 1 april 1982.
Een medewerker heeft voor het gedeelte van de grafiek dat een afwijking van het normale niveau laat zien, een formule opgesteld:    
       
 

V = t3 - 363t + 10000      (V = voorraadkosten in euros, t = tijd in weken)
       
  a. Op welk tijdstip t begint (respectievelijk eindigt) de afwijking van het normale niveau?
       
  b. Bereken hoeveel procent de maximale afwijking van het normale niveau bedroeg.
       
3. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2007.

Een hardloopster is gespecialiseerd op de 100 meter. Bij dit atletiekonderdeel moet je zo snel mogelijk je topsnelheid halen en die dan proberen vast te houden tot de finish. Haar trainer heeft haar sprint laten onderzoeken met behulp van supersnelle camera’s. In onderstaande figuur is het verband tussen de snelheid en de afgelegde afstand in een grafiek weergegeven.

       
 

       
  Op verzoek van de trainer heeft een wiskundige een formule gemaakt die goed past bij deze grafiek.
Die formule is:
 

       
 

In deze formule is v de snelheid in kilometer per uur en x de afgelegde afstand in meter.

In de eerste figuur zie je dat de maximale snelheid ongeveer 38 km per uur is en de snelheid bij de finish ongeveer 28 km per uur.
       
  a. Bereken met welke snelheid de hardloopster volgens de formule de finish passeert. Geef je antwoord in één decimaal.
       
  b. Bereken de hoogste snelheid die de hardloopster bereikt volgens de formule. Geef je antwoord in één decimaal.
       
  In de grafiek zie je dat de snelheid tijdens een gedeelte van de sprint hoger dan 35 km per uur is.
       
  c. Bereken met behulp van de formule hoeveel meter de hardloopster aflegt met een snelheid die hoger is dan 35 km per uur.
       
4. In de volgende tabel staan de wereldrecords hardlopen bij de mannen tot en met september 2003 op een aantal afstanden.
       
 
Afstand (in meters) Tijd Gemiddelde snelheid (in km/uur)
100
200
400
800
1000
1500
2000
3000
5000
10 000		 9.78
19.32
43.18
1 : 41.11
2 : 11.96
3 : 26.00
4 : 44.79
7 : 20.67
12 : 39.36
26 : 22.75		 36,8
37,3
33,3
28,5
27,3
26,2
25,3
24,5
23,7
22,7
       
  In de tabel zie je bijvoorbeeld dat het wereldrecord op de 1000 meter 2 : 11,96 was. dat betekent 2 minuten en 11,96 seconden. Afgerond op één decimaal was daarbij de gemiddelde snelheid 27,3 km/uur.

Het verband tussen de afstanden en de gemiddelde snelheid uit de tabel kunnen we benaderen met de volgende formule:
       
 

       
  In deze formule is v de gemiddelde snelheid in km/uur en a de afstand in kilometer.
Met deze formule kun je bij elke afstand boven de 100 meter de gemiddelde snelheid berekenen die hoort bij het denkbeeldig gelopen wereldrecord. Voor bijvoorbeeld een afstand van 2283 zou het wereldrecord met een gemiddelde snelheid van 24,82 km/uur zijn gelopen.
       
  a. Bereken op welke afstand het denkbeeldige wereldrecord een gemiddelde snelheid van precies 30 km/uur op zou leveren.
       
  In de tabel is de gemiddelde snelheid het hoogst bij de 200 meter. De formule van v is niet maximaal bij de 200 meter maar bij een afstand tussen de 100 en 200 meter.
       
  b. Bereken in meters nauwkeurig bij welke afstand de gemiddelde snelheid zo groot mogelijk is volgens de formule van v
       
5. Billie en Bessie Turf zijn twee gezellige dikkerds. Ze wegen op 1 december (t = 0)  beiden ongeveer 90 kg en hun gewicht is door hun ongezonde leefpatroon nog steeds continu aan het toenemen.
Daarom besluiten beiden na een poosje toch maar een dieet te gaan volgen.
Omdat dat moet van hun diëtiste houden ze lange tijd hun gewicht bij, en de diëtiste stelt na afloop de volgende wiskundige modellen op voor deze gewichten:

Billie:          G = 90 - 8 • 1,3(-t² + 76t - 1444) + 0,2t 
Bessie:        G = (0,9t - 14,5) • 2,7(-0,002t² + 0,065t - 0,53) + 98

Daar bij is t = 0 op 1 december, en t is de tijd in dagen.
G is het gewicht in kg.
       
  a. Plot de grafiek van het gewicht van Billie voor t = 0 tot t = 60. Kies een venster voor y zodat de grafiek duidelijk in beeld is.
       
  b. Wanneer is Billie waarschijnlijk begonnen aan zijn dieet?
       
  c. Plot in dezelfde figuur het gewicht van Bessie, en bereken wanneer beiden even zwaar waren.
       
  d. Wat is het maximale gewicht van Bessie geweest?
       
  e. Onderzoek of er een moment is geweest waarop Billie meer dan 16 kg lichter was dan Bessie.
       
  f. Hoe groot zal Bessie's gewicht uiteindelijk worden als ze dit dieet volhoudt?
       
6.

De temperatuur van het zeewater voor de kust wordt beschreven door: 

T = –0,093t 3 + 1,39t 2 – 3,28t + 4,7.

Hierin is T de temperatuur in graden Celsius en t de tijd in maanden met  t = 0  op 1 januari.
       
  a.

Bereken op welke datum de temperatuur maximaal is.
Hoeveel is deze maximale temperatuur?  Rond af op één decimaal.
       
  b. Bereken hoeveel dagen de temperatuur boven 19 °C is.
       
7. De AEX-index is een getal dat de hoogte van de aandelenkoers weergeeft.
Nadat president Trump in Amerika op 20 januari  2025 president werd schommelde de koers behoorlijk. De koers ging eerst omhoog, toen weer omlaag en daarna weer omhoog.
Voor de eerste 20 dagen stelde men het volgende model op:
       
 

A = 0,04d3 - 1,225d2 + 9,13d + 910,3
       
  Daarin is d het aantal dagen met d = 0 op 20 januari 2025.
d  hoeft geen geheel getal te zijn want de koers wordt de hele dag door continu bijgehouden
       
  a. Bereken hoeveel verschil er tussen de hoogste AEX-waarde en de laagste AEX-waarde in deze eerste 20 dagen was.
       
  b.

Hoe lang was tijdens deze periode de AEX-koers hoger dan 925? Rond je antwoord af op hele uren.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)