Afstanden op aarde.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
De plaats van een punt op onze aardbol wordt meestal aangegeven in zogenaamde breedtegraden en lengtegraden.

De aardbol is daarvoor verdeeld in een aantal cirkels evenwijdig aan de evenaar, die heten daarin ook heel toepasselijk de parallellen. Ze zijn genummerd van 0º tot 90º vanaf de evenaar omlaag (zuiderbreedte) en omhoog (noorderbreedte).
De evenaar zelf ligt  dus op 0º  noorder én zuiderbreedte..

Verder is er een tweede verdeling in cirkels die allemaal door de noordpool en de zuidpool gaan, en die heten de meridianen. De nulmeridiaan gaat door de Engelse plaats Greenwich. Vanaf daar lopen ze naar het oosten van 0º tot 180º (dat heet de oosterlengte) en ook naar het westen van 0 tot 180º (dat heet westerlengte).
Hieronder zie je hoe het werkt. (je ziet ook dat 180º westerlengte gelijk is aan 180º oosterlengte)
       

       
Wiskundig gezien betekent dat, dat een plaats op aarde eigenlijk aangegeven wordt met twee hoeken. Hiernaast zie je zo'n punt P en de twee hoeken die de plaats van dat punt bepalen.

We kiezen de oorsprong in het middelpunt van de aarde en leggen de x-as precies door het snijpunt van de nulmeridiaan en de evenaar. Dan bepalen de hoeken α en β de plaats van punt P op de aarde. 
Hoek α zegt hoeveel graden je OQ naar het oosten moet draaien om bij P te komen, en hoek β zegt hoeveel graden je vervolgens naar het noorden moet draaien.
Natuurlijk doen wij wiskundigen niet zo moeilijk met al de noorder-ooster-wester-en zuider-dingen. Wij nummeren de hoeken uiteraard gewoon van 0º tot 360º.
Deze twee getallen α en β die de plaats van P weergeven heten de bolcoördinaten van P.
       
Hoe bereken ik de kortste afstand tussen twee punten op aarde?
       
Daarmee wordt bedoeld de afstand over het aardoppervlak.
Hiernaast zie je twee punten P(α, β)  en Q(γ, δ).
Daarvan gaan we op twee manieren de kortste afstand uitrekenen, als functie van de vier hoeken die de coördinaten zijn.

Het gaat dus om de lengte van de groene cirkelstukje hiernaast.

 
       
methode 1:  de cosinusregel voor bolcoördinaten.    
       
Kies het middelpunt van de aarde als oorsprong. Neem voor de straal van de aarde R, dan geldt voor punt P met bolcoördinaten (α, β):

In driehoek OAP:  
sinβ = AP/R  ⇒  AP = Rsinβ = zP
cosβ = OA/R ⇒  OA = Rcosβ

en daarmee in driehoek OAB:
cosα = OB/OA ⇒  OB = OA • cosα = Rcosβ • cosα = xP
sinα  = AB/OA ⇒ AB = OA • sinα =  Rcosβ •  sinα = yP
 

xP = Rcosαcosβ
yP = Rsinαcosβ
zP = Rsinβ

 
Dus voor punt Q met (g, d) geldt  xQ = Rcosγcosδ  en  yQ = Rsinγcosδ  en  zQ = Rsinδ
De directe afstand PQ (dus dwars door de bol, niet over het oppervlak) kun je dan met Pythagoras uitrekenen:
 
PQ2 = (xP - xQ)2 + (yP - yQ)2 + (zP - zQ)2
  = (Rcosαcosβ - Rcosγcosδ)2 + (Rsinαcosβ - Rsinγcosδ)2 + (Rsinβ - Rsinδ)2

haakjes wegwerken en R2 er buiten zetten

=  R2 • (cos2αcos2β - 2cosαcosβcosγcosδ + cos2γcos2δ + sin2αcos2β - 2sinαcosβsinγcosδ + sin2γcos2δ + sin2β - 2sinβsinδ + sin2δ)

de stukken met dezelfde kleur samennemen, en de dubbele factoren daarvan buiten haakjes zetten:

= R2 • {cos2β(cos2α + sin2α) - 2cosβcosδ(cosαcosγ + sinαsinγ) + cos2δ(cos2γ + sin2γ) + sin2β - 2sinβsinδ + sin2δ}

maar,  omdat  sin2x + cos2x = 1 is dat te vereenvoudigen tot:

=  R2 • {cos2β - 2cosβcosδ(cosαcosγ + sinαsinγ) + cos2δ + sin2β - 2sinβsinδ + sin2δ}

het blauwe stuk tussen de haakjes is nu precies gelijk aan  cos(α - γ):

=  R2 • {cos2β - 2cosβcosδcos(α - γ) + cos2δ + sin2β - 2sinβsinδ + sin2δ}

daar staat weer twee keer  sin2x + cos2x = 1 :

=  R2 • {2 - 2cosβcosδcos(α - γ)  - 2sinβsinδ}
       
Maar je kunt in driehoek OPQ ook de cosinusregel toepassen.
Dat geeft een tweede waarde voor  PQ2 , namelijk  PQ2 = R2 + R2 - 2R • R • cos(∠POQ)

Stel die twee waarden voor PQ2 aan elkaar gelijk, en je krijgt:

R2 + R2 - 2R • R • cos(∠POQ) =  R2 • {2 - 2cosβcosδcos(α - γ)  - 2sinβsinδ}
R2( 2 - 2cos(∠POQ)) = R2 • {2 - 2cosβcosδcos(α - γ)  - 2sinβsinδ}

De R2 vallen allemaal weg, en de tweeën en de mintekens ook. Dat levert uiteindelijk op:
       

cos(∠POQ) = cosβcosδcos(α - γ)  + sinβsinδ
       
Deze formule heet ook wel de cosinusregel voor bolcoördinaten.

Nou je eenmaal hoek POQ kunt berekenen (arccos nemen) kun je ook de afstand PQ over het boloppervlak berekenen. P en Q liggen immers op een cirkel met straal R en middelpuntshoek POQ, en dan is de lengte van het cirkeldeel daartussen gelijk aan R • ∠POQ  (waarbij POQ in radialen moet worden gegeven).
Dat geeft de slotformule:
     

PQ = R • arccos{cosβcosδcos(α - γ) + sinβsinδ}
       
Voorbeeld 1.
Amsterdam ligt ongeveer op 52,35º NB en 4,87º OL, dus dat is het punt  (α,β) = (4.87, 52.35) in bolcoördinaten
Bangkok ligt ongeveer op 13,83º NB en 100,48º OL, dus dat is het punt  (γ, δ) = (100.48, 13.83) in bolcoördinaten.
In vullen geeft (met R = 6370 km):  PQ = 9167,29 km.
Google leverde een afstand van 9168 km op..... AARDIG NAUWKEURIG!!!!
       
methode 2:  met een trapezium
       
In de figuur hiernaast is bij de route PQ die we willen berekenen een trapezium PSQR getekend. Daar liggen P en S op dezelfde breedtecirkel, en Q en R ook.
Dus in hoeken:  Q = (α, β) en P = (γ, δ) en R = (γ, β) en S = (α, δ)

De aanpak is nu hetzelfde als bij de vorige methode:
1.  bereken de afstanden PR, QR, QS en PS via een rechte lijn
     (dus dwars door de aarde)
2.  met die afstanden kun je afstand PQ via een rechte lijn berekenen.
3.  daarmee kun je hoek POQ berekenen.
4.  tot slot bereken je daarmee de afstand PQ over het boloppervlak.
Hiernaast zie je twee punten A en B met hoek AMB = α.
MN is de hoogtelijn van driehoek MAB.
Nu geldt:  sin(1/2α) = AN/R  ⇒  AN = Rsin(1/2α)
Dus  AB = 2AN = 2Rsin(1/2α)

Toegepast op de bol hierboven geeft dat:
PR = QS = 2Rsin(1/2(δ - β))
Maar hetzelfde kun je doen met de breedtecirkels waarop PS en QR liggen.

       
De breedtecirkel waar P en S op liggen heeft straal r gelijk aan Rcosδ  dus is  PS = 2Rcosδsin(1/2(γ - α))
De breedtecirkel waar Q en R op liggen heeft straal r gelijk aan  Rcosb dus is  QR = 2Rcosβsin(1/2(γ - α))
       
Goed, en nu naar het trapezium PSQR.
PQ2 = (QR - x)2  + h2  
Maar h2 = PR2 - x2
Dus  PQ2 = (QR - x)2 + PR2 - x2 = QR2 - 2xQR + PR2

Verder is  x = 1/2(QR - PS)
Dat geeft   PQ2 = QR2 - (QR - PS) · QR + PR2 = PR2 + PS · QR

       
Daar kunnen we nu alle drie de eerder gevonden groene formules invullen:

PQ2 = 4R2sin2(1/2(δ - β)) +  2Rcosδsin(1/2(γ - α)) • 2Rcosβsin(1/2(γ - α))
=  4R2 sin2(1/2(δ - β)) + 4R2 sin2(1/2(γ - α)) • cosδcosβ
= 4R2 (sin2(1/2(δ - β)) + sin2(1/2(γ - α)) • cosδcosβ)
       
Met deze afstand kun je de hoek POQ berekenen, omdat  sin(1/2POQ) =  0,5PQ/R  dus ∠POQ = 2arcsin(PQ/2R)
En daaruit volgt tenslotte de afstand PQ over de bol:  PQBOL = R • ∠POQ = 2R • arcsin(PQ/2R)
Alles invullen geeft:

PQ = 2R • arcsin(√{sin2(1/2(δ - β)) + sin2(1/2(γ - α)) • cosδcosβ})
       
Voorbeeld 1  nogmaals.
Amsterdam ligt ongeveer op 52,35º NB en 4,87º OL, dus dat is het punt  (a,β) = (4.87, 52.35) in bolcoördinaten.
Bangkok ligt ongeveer op 13,83º NB en 100,48º OL, dus dat is het punt  (γ, δ) = (100.48, 13.83) in bolcoördinaten.
Invullen geeft  (met R = 6370 km):  PQ  = 9167,28  km.
Google leverde een afstand van 9168 km op.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)