© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De afstand tussen twee punten  
       
Als je de coördinaten van twee punten kent, dan kun je eenvoudig de afstand tussen die twee punten uitrekenen.

Zie de figuur hieronder, met de punten A(xA, yA) en B(xB, yB)
       

       
De afstand tussen A en B is de lengte van dat rode lijnstuk.
In de driehoek van de figuur rechts zie je dat je die lengte makkelijk met de stelling van Pythagoras kunt berekenen.
       

 
Met d(A, B) wordt dan de afstand tussen A en B bedoeld  (d van distance)
       
Variabel punt.
       
Die formule hierboven is nog niet zo heel spectaculair ('t is in feite gewoon de stelling van Pythagoras).
Het wordt wel een stukje interessanter als je een onbekende in de coördinaten van het punt stopt.
       
Neem de volgende vraag:

Hiernaast zie je de lijn  y = 2x + 1 en het punt  A(-2, 8)
P is een willekeurig punt van de lijn.

De vraag is:  Welk punt p van de lijn heeft afstand 5 tot punt A ?

Als je de formule hierboven gebruikt dan vind je:
5 = √((xP - - 2)2 + (yP - 8)2)
Maar ja, dat kun je niet oplossen: je hebt maar één vergelijking en twee onbekenden.

Maar als je je bedenkt dat punt P op de lijn moet liggen dan geeft dat een extra voorwaarde, namelijk  yP = 2xP + 1
Invullen:
5 = √((xP - - 2)2 + (2xP + 1 - 8)2)
25 = (xP + 2)2 + (2xP - 7)2
25 = xP2 + 4xP + 4 + 4xP2 - 28xP + 49
5xP2 - 24xP + 28 = 0
De ABC-formule geeft nu eenvoudig:   xP = 2,8  ∨  xP = 2
Dat zijn de punten  (2, 5)  en   (2.8, 6.6)
       
Zo'n punt P dat afhangt van een onbekende noemen we een variabel punt; je beschrijft er in dit geval in één keer alle punten van de lijn mee!!!
       
Het midden van een lijnstuk.
     

Als je het midden van een lijnstuk met uiteinden A en B wilt weten dan zie je in de figuur hiernaast direct hoe je dat kunt berekenen.

Die xM  ligt midden tussen  xA en xB in en die yM ligt midden tussen  yA en yB in.
Dat betekent:
     

       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Gegeven is de cirkel met middelpunt (2, 5)  en straal 26.
Geef van de volgende punten aan of ze op/binnen/buiten de cirkel liggen.
       
  a. A(-18, 22)  
       
  b. B(12, 29)  
       
  c. C(10, -19)  
       
2. Welk punt van de lijn  x = 14  heeft afstand 50 tot de oorsprong?
       
3. Gegeven is punt P(15, 6)
Welk punt van de lijn y = 3x + 2 heeft afstand 13 tot P?
       
4. Een driehoek ABC heeft hoekpunten  A(1, 6) en  B(7, 10)  en  C(3,2)
       
  a. Bereken de lengten van de zijden van deze driehoek.
       
  Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn van een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde,
       
  b. Geef vergelijkingen van de drie zwaartelijnen van deze driehoek.
       
  c. Laat met de vergelijkingen van vraag b) zien dat de zwaartelijnen van deze driehoek door één punt gaan.
       
  d. Leg uit hoe je de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek af kunt leiden uit de coördinaten van de drie hoekpunten.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)