© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Alternerende rijen.
       
Alternerende rijen zijn rijen met termen die om-en-om positief en negatief zijn. Meestal zie je dat in de formule van een rij terug door een factor  (-1)n  of  (-1)n - 1 .
Alternerende rijen zijn soms lastig te bekijken omdat je al gauw redeneerfouten kunt maken.

Neem de eenvoudigste alternerende rij die ik ken:  1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ......
Als je hem zó noteert:   (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + .... dan staat er  0 + 0 + 0 + .... en komt er 0 uit
Als je hem zó noteert:   1 + (-1 + 1) +  (-1 + 1) + .... dan staat er  1 + 0 + 0 + 0 + .... en komt er 1 uit.

Wat is het nou?
In dit simpele geval geen van beiden natuurlijk: de rij blijft tussen 0 en 1 heen en weer gaan.


Het convergentiecriterium van Leibniz.
Gelukkig is er een eenvoudige stelling over een rij  a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - .....  en die luidt als volgt:
       

Als de an  monotoon afnemen en naar nul gaan, dan convergeert de rij.
       
"Monotoon afnemen" betekent:  "alleen maar afnemen"  dus dat elke a kleiner is dan de vorige.
 • Deze stelling zegt alleen maar wanneer een rij convergeert, niet wanneer een rij divergeert: je mag hem niet omdraaien.
•  Dat "monotoon afnemen" hoeft niet meteen vanaf het begin, maar kan best vanaf bepaalde n gelden.

Waarom is dat zo?
       
Bekijk eerst de deelsommen s2n  met een even aantal termen:

s2 = a1 - a2
s4 = a1 - a2 + a3 - a4
s6 = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - a6
.....   

Die rij deelsommen neemt steeds toe omdat de  a's steeds afnemen:
s2 = a1 - a2  > 0  omdat  a2 < a1
s4 = s2 + (a3 - a4)  > s2  omdat  a3 - a4 > 0
s6 = s4 + (a5 - a6) > s4  omdat  a5 - a6 > 0
......
In het algemeen is dus  s2n  > s2n - 2 

Maar je kunt de rij s2n ook zó noteren:
s2n = a1  - a2 + a3 - a4 + a5 - a6 + .... =  a1 - (a2 + a3) - (a4 + a5) - (a6 + a7) - ....
En omdat al die delen tussen haakjes steeds groter dan nul zijn, is  s2n < a1
De rij  s2, s4, s6, ...  is dus een alsmaar toenemende rij die van boven is begrensd (door a1) dus moet die rij wel convergeren.
Maar als de rij  s2n convergeert dan moet de rij s2n + 1 dat ook wel doen, want:

Dus  s2n en s2n + 1 zijn twee convergerende rijen en ze hebben dezelfde limiet. Dus convergeert de rij  an
☺    
       
Voorbeeld 1.
Bekijk de volgende rij:

 
Dat is de beroemde alternerende harmonische rij:    1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...

De rij convergeert dus.
Merk nog even op dat de gewone harmonische rij  1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... niet convergeert!!
       
Voorbeeld 2.

Dat de rij met een negatieve term begint maakt natuurlijk voor het convergeren niets uit:  haal bij de hele rij een minteken buiten haakjes.
Dat de an naar nul gaan is ook makkelijk te zien. Deel teller en noemer door n en neem de limiet van n naar oneindig. Dan gaat de teller naar nul en de noemer naar 1 dus dat gaat samen naar nul.
Maar hoe is het met het monotoon afnemen? Als n toeneemt dan nemen zowel de teller als de noemer toe. Wat gebeurt er met de hele breuk?  Dat kun je het snelst zien door de afgeleide van √n/(n - 2) te bekijken.

Daarmee "gebeurt iets"  bij  n = 0 en n = -2 en n = 2.
Als we de rij voor n > 2 bekijken dan is de afgeleide steeds negatief dus die functie daalt monotoon dus de an-waarden ook.
Aan beide voorwaarden is voldaan dus de gegeven rij convergeert.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)