© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Anagrammen.
 
We hebben al bekeken hoe we rijtjes van twee verschillende letters kunnen tellen. Dat gebruikten we bijvoorbeeld door het aantal routes in een rooster te tellen.
Deze les gaan we willekeurige combinaties van letters tellen.
 
Een anagram van een woord is een ander woord dat je kunt maken door de volgorde van de letters te veranderen.
Zo kun je van  "TAK"  bijvoorbeeld  "KAT" maken, maar ook de niet-bestaande woorden  KTA, ATK, AKT en TKA.
In totaal zijn er zes anagrammen van "KAT"  (kenners zien natuurlijk direct hier het aantal permutaties: 3!).
Het wordt anders als sommige letters vaker voorkomen.
Van OOK zijn er bijvoorbeeld alleen maar  OKO  en KOO; geen 6 maar slechts 3.

Neem het woord  "HOTTENTOTTEN"
We gaan bekijken op hoeveel manieren we de letter van HOTTENTOTTEN door elkaar kunnen zetten.
Hoeveel woorden zijn er met de letters  E, E, H, N, N, O, O, T, T, T, T, T te maken?
Laten we proberen zo'n woord te gaan fabriceren.

Dat kan op twee manieren:

Methode 1: zet de letters stuk voor stuk op hun plaats.

Laten we beginnen met 12 stippen waar deze twaalf letters uiteindelijk moeten komen te staan:

Laten we nu de beide E's op een plaats zetten. Daarvoor moeten we 2 plaatsen uitkiezen uit de 12 om zo'n E op neer te zetten. Maar wacht eens even:
• kies er 2 uit de 12
• zonder terugleggen
• de volgorde is NIET van belang

Dat kan dan op  (12 nCr 2)  manieren. Dat zijn er  66.
Goed, stel dat we twee plaatsen voor de E hebben gekozen:

Voor de letter H zijn er daarna nog 10 mogelijkheden. (eigenlijk (10 nCr 1)  want je kiest er 1 uit de 10)
Samen zijn er al 66 • 10 = 660 mogelijkheden voor de letters EEH. Een mogelijkheid is:

Dan moet je voor de twee N's kiezen uit 9 plaatsen, dus dat kan op  (9 nCr 2) = 36 manieren.
Daarna voor de 2 O's  (7 nCr 2) = 21 manieren.
Tenslotte zijn er nog 5 plaatsen over voor de T's; dat kan maar op één manier.
In totaal geeft dat  66 • 10 • 36 • 21 • 1 = 498960 manieren. Eigenlijk komt dat dus van:

En als je de volgorde verandert geeft dat het zelfde resultaat. Laten we letters in omgekeerde volgorde op hun plek zetten, dan geeft dat:

Inderdaad hetzelfde resultaat.
Methode 2:  tel de dubbelen.
Er moeten 12 letters in een volgorde gezet worden. Dat kan in principe op 12! manieren.

Nu gaan we delen door de dubbelen:
- Er zijn twee E's, dus delen door 2!
- Er zijn twee N's, dus delen door 2!
- Er zijn twee O's dus delen door 2!
- Er zijn vijf T's dus delen door 5!
Dan blijft er over:

   
 
 
OPGAVEN
1. Hoeveel anagrammen zijn er van het woord  ANAGRAMMEN?
   
2. Twee Schakers (A en B) spelen een tweekamp over 18 spellen tegen elkaar. Elk spel kan eindigen in winst (voor  schaker A) of verlies (voor schaker A) of gelijk spel.
In deze wedstrijd blijkt schaker A  7 spellen te winnen, 5 te verliezen en op 6 spellen is het remise.
Op hoeveel mogelijke manieren kan dit resultaat tot stand komen?
3. Voor mij op tafel liggen  een groot aantal munten:
3 munten van €2,-
8 munten van €1,-
8 munten van  €0,20
4 munten van €0,10

Op hoeveel verschillende manieren kun je deze 23 munten op elkaar stapelen?
       
4. Ik heb een verzameling van  40 gekleurde vlaggetjes:  15 rode,  10 gele,  8 groene en  7 blauwe.
Die ga ik allemaal naast elkaar aan een touw hangen om één lange gekleurde slinger te maken.
       
  a. Op hoeveel manieren kan ik, als er geen voorwaarden zijn,  hier één lange slinger van maken?
       
  Ik vindt het niet mooi als er ergens één of meer rode vlaggetjes naast elkaar hangen, en ook niet aan het eind of het begin een rood vlaggetje.
Een rood vlaggetje moet eigenlijk steeds tussen twee andere vlaggetjes in hangen.
Daarom bepaal ik mijn slingervolgorde als volgt:

Eerst leg ik alle gele, groene en blauwe vlaggetjes in een willekeurige volgorde neer.
Daarna kies ik willekeurig 15 keer in die rij een plaats tussen twee vlaggetjes om een rood vlaggetje te hangen.
       
  b. Op hoeveel manieren kan ik nu één lange slinger van vlaggetjes maken?
       
  c. Gebruik de tactiek van vraag b) om uit te rekenen op hoeveel verschillende manieren er één slinger van vlaggetjes  te maken is waarbij nooit twee dezelfde kleuren vlaggetjes naast elkaar hangen.
       
5. Het blijkt dat (20 nCr 9) × (11 nCr 4)   gelijk is aan  (20 nCr 7) × (13 nCr 9)
Leg duidelijk uit waarom dat zo is.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)