© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
De Groeifactor g  
De groeifactor is, zo zagen we eerder, het getal waarmee elke keer wordt vermenigvuldigd.
Daar zijn een paar dingen over op te merken.
1.  Rente.
     
  Er zijn erg veel vraagstukken die gaan over geld op de bank, immers daar krijg je elk jaar een vast percentage rente over dus dat is een exponentieel proces. We hebben het dan steeds over samengestelde interest; dat wil zeggen dat de rente erbij op de rekening wordt gestort zodat je het volgende jaar ook weer rente over die rente krijgt.

Wat is in die gevallen de groeifactor?
Als je bijvoorbeeld 5% rente krijgt, dan is de groeifactor NIET 0,05.  Dat lijkt me nogal logisch immers als je een geldbedrag met 0,05 vermenigvuldigt blijft er haast niets van over. Op die bank zou ik m'n geld niet zetten!
De 0,05 geeft alleen aan hoeveel rente er bijkomt. Maar het bedrag zélf blijft natuurlijk in zijn geheel ook staan.
Voor het bedrag in het volgende jaar geldt dus  Bnieuw = bedrag  + rente = B + 0,05B = 1,05B
Daaruit zie je dat de groeifactor  1,05 is.
     
 

Bij een groei met p% rente is de groeifactor  g  = 1 + p/100
     
2. Als er steeds een percentage/hoeveelheid AF gaat.
Bedenk dat de groeifactor het getal is waar mee wordt vermenigvuldigd.
Dus als ergens elke keer 20% van af gaat dan is de groeifactor NIET 0,2. Immers als je iets met 0,2 vermenigvuldigt dan gaat er geen 20% af. Kijk maar:  als een jas van €300  20% in prijs wordt verlaagd dan gaat er  20 • 3 = 60 euro af, en dan kost hij dus nog 240 euro. En niet  0,2 • 300 = 60 euro!!!!!
Je moet je afvragen: waar moet je 300 mee vermenigvuldigen om 240 te krijgen.

En dat is 0,8.

Logisch: als ergens 20% AF gaat, dan blijft er 80% OVER.
Onthoud daarom:
De groeifactor g geeft aan hoeveel er elke keer OVER blijft, niet wat er AF gaat!!
Basisformule van exponentiële groei.
   
We gaan nu uit een willekeurige exponentiële tabel of grafiek of verhaaltje zo'n exponentiële formule opstellen.

Vier Soorten Berekeningen met de Exponentiële Formule.

OK, de exponentiële formule  y = B • gx  heeft 4 letters, namelijk een y, een B, een g en een x,
Daarom kunnen er in principe ook 4 soorten vragen gesteld worden, waarbij steeds één van de vier letters onbekend is. Die onbekende moet je dan berekenen, en de andere drie kun je op de één of andere manier uit het verhaaltje bij de vraag halen.

Van alle vier dan maar een voorbeeldje?  Vooral om even samen te vatten welke rekentechnieken je wanneer moet gebruiken.
   
 
Berekening 1.  y is onbekend.
Het aantal kakkerlakken in een flatgebouw neemt elke week met 8% toe.
Nu zijn het er 850.  Hoeveel zijn het er over 10 weken?

oplossing:   B = 850, g = 1,08  en  x = 10.  Gewoon invullen:   y = 850 • 1,0810 = 1835.

y = B·gx
   
 
Berekening  2.  B is onbekend.
Een bank geeft mij 2,3% rente per jaar.
Hoeveel moet ik nu op een rekening zetten om over 15 jaar  €10000 te hebben?

oplossing:  y = 10000, g = 1.023,  x = 15. 
Invullen geeft:  10000 = B • 1,02315
10000 = B • 1,406 ⇒   B = 10000/1,406 = €7110

y = B·gx
   
 
Berekening  3.  g is onbekend.
Het aantal inwoners van een stad is de laatste 12 jaar afgenomen van 56000 naar 32500.
Hoeveel procent afname per jaar is dat? 

oplossing:  y = 32500,  B = 56000,  x = 12. 
Invullen geeft  32500 = 56000 • g12
g12 = 32500/56000 = 0,5803  ⇒   g = 0,58031/12 = 0,9557
Dat is een afname van 4,43% per jaar.

y = B·gx
   
 
Berekening  4.  x is onbekend.
Het aantal bacteriën in een biefstuk verdubbelt elke dag.
Als het er nu 200 zijn, hoe lang duurt het dan voordat het er 1 miljard zijn?

oplossing:  y = 1000000000,  B = 200, g = 2
Invullen geeft  1000000000 = 200 • 2x
Die kunnen we voorlopig niet algebraïsch oplossen.
Dus maar de GR:
Y1 = 1000000000
Y2 = 200 × 2x
intersect geeft x = 5,64

y = B ·gx
   
 
 
OPGAVEN

1.

 Hoe groot is de groeifactor in de volgende gevallen?
a. 4,6% groei   d. 50% groei
           
b. 0,7% groei   e. 560% groei
           
c. 46% groei   f. 2/5% groei
2. Welk rentepercentage hoort bij de volgende groeifactoren?
a. g = 1,0634
       
b. g = 1,0003
       
c. g = 2,68
3. Hoe groot is de groeifactor in de volgende gevallen?
     
a. Van radioactieve straling die door de muur van een betonbunker gaat wordt door elke meter water 8% geabsorbeerd.
     
b. Een jogger verbrandt elk uur 2% van zijn lichaamsvet.
     
c. Elke dag steekt de helft van de mensen die corona heeft een ander aan, en voorlopig geneest bij niemand de corona.
     
d. De inflatie van het geld was dit jaar 4%.
     
  e. Een sportvereniging krijgt elk jaar 5% minder leden, maar ze verhogen de contributie elk jaar met 8%
Hoe verander het totale inkomen voor de penningmeester van de club?
     
4. Jolien belegt sinds een poosje zelf in aandelen, en ze merkt dat de daar per jaar 4% rente mee haalt op haar ingelegde vermogen.
Zara belegt haar geld bij een professionele handelaar in een aandelenportefeuille. Daarmee haalt zij per jaar 5% opbrengst. Als zij haar geld weer opneemt moet zij echter wel 2% vergoeding aan de handelaar betalen.
     
  a. Stel dat beiden op een moment 800 euro geld inleggen en dat na 5 jaar weer opnemen.
Bereken voor elk van beiden dan het bedrag dat zij uiteindelijk in handen krijgen.
     
  Stel dat beiden op een moment 2000 euro geld inleggen en dat na t jaar weer willen opnemen.
     
  b. Maak formules voor het bedrag dat beiden na t jaar in handen krijgen. Bereken daarna met die formules na hoeveel tijd beiden hetzelfde bedrag krijgen.
     
5. Thermoskannen kunnen hun inhoud voor lange tijd goed warm houden, maar natuurlijk niet voor altijd. Zelfs de beste thermoskan lekt altijd wat warmte.
Voor een thermoskan van het merk Tefal die gevuld wordt met hete koffie van 90° blijkt te gelden:
T(t) = 90 × 0,965t
Daarin is T de temperatuur in °C en t de tijd in uren.
     
  a. Bereken met hoeveel procent de temperatuur per dag afneemt. Geef je antwoord in hele procenten.
     
  De koffie is niet goed meer drinkbaar als de temperatuur onder de 70°C komt.
In een thermoskan van merk Dopper daalt de temperatuur slecht 2% per uur.
     
  b. Bereken hoe lang koffie van 90°C door een fles van Dopper langer drinkbaar blijft dan uit een fles van Tefal.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)