lengte van een vector

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Bewegingen in het vlak.

Deze les bekijken we punten die volgens bepaalde voorschriften door het vlak bewegen en gaan we proberen de baan ervan te beschrijven.

1. Bewegingen langs lijnen.

Als het gaat om punten die langs lijnen in het vlak bewegen is het vaak handig om als l van de lijn de tijd t te nemen. Precies zoals ook het geval was bij parametervoorstelling van krommen. Ook daar stelde de parameter t de tijd voor. We hebben al eerder gezien dat zo'n vectorvoorstelling eigenlijk ook een parameterkromme is.
Neem in de volgende voorbeelden steeds aan dat roosterhokjes afmetingen van 1 cm bij 1 cm hebben.

*Voorbeeld 1.*
Punt P beweegt met snelheid 2 ^cm/_sec langs de y-as omhoog , en punt Q beweegt met een snelheid van 3 ^cm/_sec langs de x-as naar rechts. Op t = 0 start punt P in het punt (0, 2) en punt Q in het punt (1,0). M is het midden van lijnstuk PQ. Toon aan dat de punten M op een rechte lijn liggen en geef een vectorvoorstelling van die lijn.
Voor de plaatsvectoren van de oorsprong naar P en Q als functie van de tijd t kun je het volgende opstellen:

M is het midden van die twee, dus moet je het gemiddelde van de x- en de y-coördinaten nemen:

Daar is de gevraagde lijn al.

Kijk uit met schuine lijnen! Om die snelheden dan in de goede verhouding te krijgen zou ik er voor zorgen dat de richtingsvectoren van de gebruikte lijnen dezelfde lengte hebben.

**Bijna voorbeeld 1 nog een keer.**
Punt P beweegt met snelheid 2 ^cm/_sec verticaal omhoog, en punt Q beweegt met een snelheid van 4 ^cm/_sec langs de lijn y = x naar rechtsboven . Op t = 0 start punt P in het punt (2, 4) en punt Q in de oorsprong. M is het midden van lijnstuk PQ. Toon aan dat de punten M op een rechte lijn liggen en geef een vectorvoorstelling van die lijn.

Die heeft lengte √2, en dat moet lengte 4 worden, dus moet je vermenigvuldigen met 4/_√2 = 2√2. Dat geeft de volgende plaatsvectoren:

Voorbeeld 2. Punt P begint op t = 0 langs de y-as omhoog te bewegen met snelheid 3 ^cm/_sec, met als beginpunt (0,2) A is het vaste punt (4,0) Q is een punt rechts van P waarvoor geldt dat PQ loodrecht op AP staat en waarvoor PQ = ¹/₄AP. Onderzoek de baan van de punten Q.

Op tijdstip t geldt:

Denk erom dat je even controleert dat deze normaalvector inderdaad een punt rechts van P oplevert, dus dat je hem niet per ongeluk de verkeerde kant op hebt genomen. Hier zie je dat direct doordat de y gelijk is aan 1 en dat is positief.

De punten Q liggen op de lijn met deze vectorvoorstelling (dat is trouwens de lijn y = 4x + 1, ga dat zelf maar na).
Het midden M is weer het gemiddelde van de x-coördinaten en de y-coördinaten:

2. Bewegingen met cirkels.

Voor een punt dat om een cirkel beweegt geldt (t is weer de tijd):

Daarin is het middelpunt M = (x_M, y_M) en de straal r.
Het punt begint rechts van M en heeft een omlooptijd van T = ^2p/_a
Natuurlijk kun je aan zo'n ronddraaiend punt best andere punten vastmaken.....

Voorbeeld 3. Punt P draait rond met 2p rad/sec om een cirkel met M = (2, 3) en straal 5. Op t = 0 bevindt P zich rechts van M. P is weer het middelpunt van een kleinere cirkel met straal 2, die rond P draait met 0,4p rad/sec. Beschrijf de beweging van een punt Q op de rand van P dat op t = 0 rechts van P is.

Voorbeeld 4.
Punt P draait rond met 2p rad/sec om een cirkel met M = (2, 3 en straal 5. Op t = 0 bevindt P zich rechts van M. Vector PQ krijg je door OP over 90° met de klok mee te draaien en vervolgens half zo lang te maken. Beschrijf de beweging van punt Q

Zoals je hiernaast ziet wordt het een soort ellips.

OPGAVEN

De punten P en Q beginnen beiden op t = 0 vanuit de oorsprong te bewegen.
Punt P beweegt met een snelheid van 4 ^cm/_sec langs de lijn y = ³/₄x naar rechts.
Punt Q beweegt met een snelheid van 3 ^cm/_sec langs de lijn y = -⁷/₂₄x omlaag.
Geef een formule voor de afstand PQ op tijdstip t.

P is het vaste punt (4, 0).
Q is een punt dat op t = 0 begint in (0, 1) en dat met een snelheid van 2 ^cm/_sec naar boven over de y-as beweegt (de roosterhokjes zijn 1 cm).
R is een punt met positieve y-coördinaat, zodat QP en PR loodrecht op elkaar staan en waarvoor bovendien geldt PR = 2PQ.

Toon aan dat de punten R op een rechte lijn liggen, en geef een vectorvoorstelling van die lijn.

Punt P beweegt vanaf t = 0 met een snelheid van 2 ^cm/_sec over de lijn y =10 - x vanaf punt (0, 10) richting (10, 0).
Punt Q beweegt vanaf t = 0 met een snelheid van 1 ^cm/_sec vanaf punt (6, 10) recht omlaag over de lijn x = 6

M is het midden van lijnstuk PQ.
Beschrijf de baan van M.

c is de cirkel met middelpunt M = (4, 2) en straal r = 2.
Punt P volgt een baan langs deze cirkel c met omlooptijd 2π, en begint op t = 0 rechts van M.
Punt Q is het vaste punt (0, 6).

PRQ is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met schuine zijde PQ

Zie de figuur hiernaast.

Er geldt:

Toon dat aan, en geef een formule voor de oppervlakte van PQR als functie van t. Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Geef een parametervoorstelling voor de baan van R en leg duidelijk uit hoe die baan eruit ziet.

Punt P beweegt tegen de klok in over een cirkel met middelpunt (2,0) en straal 2
Punt Q beweegt tegen de klok in over een cirkel met middelpunt (0,6) en straal 6
Beide punten hebben dezelfde omlooptijd, en beginnen op t = 0 rechts van het middelpunt. Zie de figuur.

R is het hoekpunt van een vierkant met zijde PQ, zoals in de figuur.
Stel een parametervoorstelling op voor punt R.