© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
De punten P en Q beginnen beiden op t = 0 vanuit de oorsprong te bewegen.
Punt P beweegt met een snelheid van  2 cm/sec langs de lijn y = 4/3x naar rechts.
Punt Q beweegt met een snelheid van 4 cm/sec langs de lijn y = -5/12x omlaag.
Geef een formule voor de afstand PQ op tijdstip t. 
       
Q is het vaste punt (0, 2).
P is een punt dat op t = 0 begint in (4, 0) en dat met een snelheid van 4 cm/sec naar rechts over de x-as beweegt (de roosterhokjes zijn 1 cm).
R is een punt met positieve y-coördinaat, zodat QP en PR loodrecht op elkaar staan en waarvoor bovendien geldt PR = 11/2PQ.

Toon aan dat de punten R op een rechte lijn liggen, en geef een vectorvoorstelling van die lijn.

       
Punt P beweegt vanaf t = 0 met een snelheid van 1 cm/sec over de lijn y = x  vanaf punt (10,10) richting de oorsprong.
Punt Q beweegt vanaf t = 0 met een snelheid van 2 cm/sec vanaf punt (2, 3) recht omhoog over de lijn x = 2

M is het midden van lijnstuk PQ.
Beschrijf de baan van M.

       
c is de cirkel met middelpunt  M = (3, 2) en straal r = 2.
Punt P volgt een baan langs deze cirkel c met omlooptijd 2π, en begint op t = 0 rechts van M.
Punt A is het vaste punt  (3, 4).
AP is een zijde van een vierkant waarvan Q het punt tegenover P is. Zie de figuur, waarin op twee momenten de situatie is weergegeven.
       
 

       
 
       
  a. Toon dat aan,  en geef een formule voor de oppervlakte van het vierkant als functie van t.  Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
       
  b. Geef een parametervoorstelling voor de baan van Q en leg duidelijk uit hoe die baan eruit ziet en waarom dat zo is.
       
Punt P beweegt over een cirkel met middelpunt (2,0) en straal 3
Punt Q beweegt over een cirkel met middelpunt (0,8) en  straal 2
Beide punten hebben dezelfde omlooptijd, en beginnen op t = 0 rechts van het middelpunt. Zie de figuur.
       
 

       
  R is het hoekpunt van een vierkant met zijde PQ, zoals in de figuur.
Stel een parametervoorstelling op voor punt R.
       
MEER OPGAVEN
       
6. Examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2022 - II
       
  Voor 0 ≤ t ≤  2π  beweegt een punt P over een cirkelvormige baan cP met middelpunt O(0, 0) volgens de bewegingsvergelijkingen:
 
  Voor 0 ≤ t ≤ 2π  beweegt tegelijkertijd een punt Q over een cirkelvormige baan cQ volgens de bewegingsvergelijkingen:
   
       
  Hoek POQ is afhankelijk van t. In de figuur zijn beide cirkels cP en cQ weergegeven. Ook zijn de lijnstukken OP en OQ weergegeven voor een waarde van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan.
       
  a. Bereken exact de waarden van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan
       
  De lijn door P en Q snijdt de x-as in punt A. De x-coördinaat van A is onafhankelijk van t.
       
  b. Bewijs dit.  
       
  Punt M is het midden van lijnstuk PQ.
Op t = 0 beginnen P en Q vanaf de x-as naar boven te bewegen. Punt M beweegt dan mee naar boven. In de volgende figuren is voor drie waarden van t de situatie weergegeven.
       
 
       
  Voor t ≈ 0,723 ligt punt M op cirkel cQ. Zie de linkerfiguur. Na t ≈ 0,723 komt M in het gebied buiten cQ te liggen. Zie de middelste figuur. Op een zeker tijdstip ligt M op cirkel cP. Zie de rechterfiguur.
Punt M ligt een percentage van de tijd waarin de punten P en Q een volledige baan doorlopen buiten cP en cQ.
       
  c. Bereken dit percentage. Geef je eindantwoord als geheel getal.
       
7.

Punt P beweegt om een cirkel met middelpunt M(0, 4) en straal 3. Op t = 0 bevindt P zich in (3, 4). Op tijdstip t is de lijn MP over t radialen gedraaid. Zie de figuur.

MP is zijde van een vierkant waarvan punt Q de hoek tegenover M is.

Voor punt Q gelden de bewegingsvergelijkingen:

x(t) = 3cost - 3sint
y(t) = 3sint + 3cost + 4

     
  a. Toon deze vergelijkingen aan.
       
  Als je de baan van Q plot, dan lijkt het erop alsof punt Q ook over een cirkel met middelpunt M beweegt. Als dat zo is dan zou moeten gelden dat 
xQ2 + (yQ – 4)2 = r2
       
  b.  Toon met de bewegingsvergelijkingen van Q aan dat dat inderdaad het geval is.
       
8. Punt P beweegt over een cirkel met straal 2, en middelpunt de oorsprong. De periode van de cirkelbeweging van P is 2p en  Q is het vaste punt (2, 0)
Op tijdstip t = 0 is P = Q.
Je krijgt vector PR door vector QP over 90 te draaien met de klok mee, en dubbel zo lang te maken. Zie de figuur met een voorbeeldsituatie.
       
 

       
 

Voor de coördinaten van R geldt dan :            

xR = 2cos(t) + 4sin(t)
yR = 4 + 2sin(t) - 4cos(t)
       
  a. Toon dat aan.
       
  Voor t =   bevindt R zich in het punt (4, 6).
       
  b.

Bereken de hoek  die de baan van R in dat punt  maakt  met de lijn
y = 2x - 2.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)