bollen stapelen


Bollen stapelen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Als je een aantal pingpongballetjes een beetje netjes op de bodem van een doos legt, dan zijn er eigenlijk twee manieren om dat te doen, kijk maar naar de volgende bovenaanzichten:

Bij de eerste methode liggen de middelpunten op een gelijkzijdige driehoek met zijden 2r, bij de tweede methode liggen de middelpunten op een vierkant met zijden 2r.
Je zult vast wel zien dat die eerste methode efficiënter is. De bollen liggen meer `In elkaar geschoven` en de lege tussenruimtes zijn kleiner.

Druk de grootte van de lege tussenruimtes in de figuren hierboven uit in de straal r van de bollen.

r² (√3-0,5π)
r²(4-π)

Het wordt al interessanter als we er nog een tweede laag bollen boven opleggen
Er zijn drie manieren om dat een beetje netjes te doen.

Manier 1: precies recht boven op elkaar.

Dat is eigenlijk de saaiste manier.
Hiernaast staan de twee zijaanzichten die horen bij deze stapelingen.

Hieronder zie je dat de middelpunten van elkaar rakende bollen uit twee lagen dan op de hoekpunten van een prisma (bij de eerste methode, links) of van een kubus (bij de tweede methode, rechts) liggen.

Het prisma heeft een hoogte 2r, en een oppervlakte grondvlak van r²√3 dus een inhoud 2r³√3 ≈ 3,464r³
Daarbinnen bevinden zich zes stukken bol, die allemaal ¹/₁₂ deel van een bol zijn.
Samen een halve bol dus, met inhoud ²/₃πr³ ≈ 2,094r³
De manier van stapelen vult de ruimte dus voor ^2,094/_3,464 ´100% = 60,5%

De kubus heeft ribben van 2r dus een inhoud van (2r)³ = 8r³
Daarbinnen bevinden zich acht bolstukken, elk ¹/₈ bol, dus samen een hele bol met inhoud ⁴/₃πr³ ≈ 4,189r³
Deze manier van stapelen vult de ruimte dus voor ^4,189/₈ ´ 100% ≈ 52,4%

Manier 2: per rij boven elkaar, maar wel verschoven.

De tweede laag zakt nu iets tussen de eerste, zodat de totale hoogte van de twee lagen bollen minder zal worden.

Hiernaast zie je van beide methoden een zijaanzicht en een bovenaanzicht.

Dat betekent voor het prisma en de kubus waar de middelpunten op liggen dat die iets scheef zakken waardoor hun hoogte minder wordt. Hoeveel minder, dat kun je in de zijaanzichten hieronder goed zien.

De oorspronkelijke hoogte was 4r (zijaanzicht links) en die wordt nu 2r plus de hoogtelijn van de gelijkzijdige driehoek (met zijden 2r). Dat is 2r + r√3 = r(2 + √3) ≈ 3,732r
Dat is een factor ^3,732/₄ ≈ 0,933 efficiënter dus de inhouden worden ook met deze factor verkleind.
Dat betekent dat de efficiënties van deze stapelingen vergroten naar 64,8% (driehoeksmethode) en 56,2% (vierkantsmethode).

Manier 3: De tweede laag precies midden boven het gat van de eerste.

Dit is waarschijnlijk de interessantste manier, want het lijkt erop dat op deze manier je de bollen zo efficiënt mogelijk opstapelt.

Daarbij horen de aanzichten hiernaast.

Bij de driehoeksgrondlaag zitten de middelpunten van de bollen nu op de hoekpunten van een regelmatig driezijdig prisma. Bij de vierkantsgrondlaag is die scheef-gezakte kubus nu ook naar de andere kant scheef gezakt.

3a. vierkantsmethode.
Laten we eerst het geval bekijken van vier bollen op de grondlaag, met eentje daar midden bovenop.

Hiernaast zie je het bovenaanzicht van vier zulke bollen. Daarnaast staat het aanzicht in de richting loodrecht op AB.
In de linkerfiguur zie je dat (2r)² + (2r)² = AB²
Daaruit volgt AB = 2r√2

Als in de rechterfiguur dat rode lijntje dus 2rÖ2 is, dan geldt:
h² = (2r)² - (r√2)² = 2r² ofwel h = r√2.

De derde laag komt nu precies recht boven de eerste, dus dat geeft in het zijaanzicht zoiets als hiernaast.

Om de bezetting van de ruimte te bekijken kunnen we nu het best een balk met grondvlak 2r bij 2r en hoogte 2r√2 tekenen.

Dan zit er in elk hoekpunt van die balk een kwart bol, plus nog eentje in het midden.

Zoiets als hiernaast, en dan nog eentje extra in het midden (die gestippelde; dat is de enige die hier van de middenlaag is getekend)

De inhoud van de balk is 2r • 2r • 2r√2 = 8r³√2

Daarin zit één hele bol in het midden en acht keer ¹/₈ bol in de 8 hoekpunten.
Samen is dat 2 hele bollen met inhoud 2 • ⁴/₃ • πr³

De efficiëntie wordt dan 74,04%.

Als je een "cel" tekent met als midden het gat in zo'n stapeling, dan krijg je een figuur als hiernaast.

3b. driehoeksmethode.
(rest volgt)