© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De buigraaklijn  
       
Deze les zullen we wat verschillende soorten opgaven met buigpunten bekijken.
Eentje komt erg vaak voor; examenmakers hebben er een voorkeur voor omdat je van alles met afgeleide en tweede afgeleide moet kunnen en moet snappen
Dat is het opstellen van een buigraaklijn.
     
Het woord zegt het eigenlijk al:  de buigraaklijn aan een grafiek is de raaklijn aan een grafiek in een buigpunt van die grafiek. 
Het raakpunt is dus tegelijkertijd een buigpunt.
Het opstellen van zo'n buigraaklijn zullen we aan de hand van een zeer uitgebreid voorbeeld stapsgewijs bespreken (waarbij we stiekem ook nog allerlei andere wiskundige zaken herhalen)
       
Uitgebreid Voorbeeld.   

Gegeven is de functie: 		 

 
Geef een vergelijking van de buigraaklijn aan de grafiek van f  
   
Uitgebreide Oplossing.  
Laten we eerst het buigpunt bepalen.
Met de quotiëntregel:		  
 
En dan nog een keer:  
 
Voor het buigpunt moet de teller nul worden:
-x-0,5 + 2 - x0,5 + 4x-0,5 - 4 -  2 + 2x0,5 = 0
3x-0,5  + x0,5 - 4 = 0
Vermenigvuldig alles met  x0,5:   3 + x - 4Öx = 0
Noem nu Öx = p
p2 - 4p + 3 = 0  en dat geeft  p = 3  ∨  p = 1
Dan is  x = 9  ∨  x = 1
Voor x = 1 bestaat de functie f niet dus de enige oplossing is x = 9

Het buigpunt is het  punt  (9, -18)

Nu nog de raaklijn.
De helling in x = 9  is  f '(9) =  -1/2
De raaklijn is dus  y = -1/2x + b
Het raakpunt invullen geeft  -18 = -1/2 · 9 + b  dus  b = -131/2
De buigraaklijn is de lijn  y = -1/2x - 131/2    		 
       
Nog even de 4 denkstappen samengevat:  
       
Opstellen buigraaklijn:
     
1.    Bereken de x van het buigpunt door op te lossen  f ''  = 0
     
2.   Bereken de y van het buigpunt door de x in de formule van  f  in te vullen.
     
3.   Bereken de helling in het buigpunt (dat is de a van de buigraaklijn) door de x in de f ' in te vullen.
     
4.   Bereken de b van de buigraaklijn door het raakpunt in te vullen in  y = ax + b
       
 
 
OPGAVEN
 
1. De functie f is gegeven door   f (x) = 2(2x - 1)3 + 3(2x - 1)2 .
Voor de afgeleide geldt:  f '(x) = 48x2 - 24x
     
  a. Bewijs dit.  
       
  b. Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van  de buigraaklijn van f.
       
2. Gegeven zijn de functies  fa(x) = x3 - 4x2 + 2x + 5
       
  a. Geef een vergelijking van de buigraaklijn van f2
       
  b. Onderzoek algebraïsch of het buigpunt van de grafiek van f midden tussen beide toppen in ligt. (je mag afronden)
       
3.
  Bereken de x-coördinaat van het buigpunt van de grafiek van f
 
     
4. Gegeven zijn de functies  fa(x) = x3 - 4x2 + a
De buigraaklijn van fa gaat door O.   Bereken a
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)