capture recapture


Capture-Recapture	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stel je bent lid van een club sportvissers die een grote vijver tot zijn beschikking heeft. In verband met het eventueel wel of niet uitzetten van nieuwe vissen wil het bestuur graag weten hoeveel vissen er eigenlijk in de vijver zitten.
Maar daar heeft men een probleem: hoe kom je daar achter?
Je kunt moeilijk alle vissen gaan vangen. Maar een aantal tellen dat helpt niet, want je weet dan natuurlijk niet hoeveel er niet zijn gevangen....
De voorzitter weet dat jij goed in wiskunde bent en vraagt jou om raad.
Alle ogen zijn op jou gericht......

Hoe pak je dat aan?

't Is heel eenvoudig, maar je moet er maar opkomen. Het gaat zo:

• Vang eerst een aantal vissen.
• Geef al die vissen een merkje en laat ze weer los.
• Wacht een poosje.
• Vang dan wéér een aantal vissen.
• Tel hoeveel procent daarvan een merkje heeft.

Dan kun je nu een goede schatting maken van het totaal aantal vissen in de vijver. Als je lang genoeg hebt gewacht zullen de gemerkte vissen zich gelijk verdeeld hebben onder alle vissen in de vijver.

Maar dat betekent dat de verhouding tussen het aantal gemerkte vissen en het totaal aantal vissen in jouw tweede vangst gelijk is aan de verhouding van gemerkte vissen en het totaal aantal vissen in de hele vijver.

Daarmee kun je het totaal aantal vissen in de vijver schatten. Deze methode heet capture-recapture.

Getallenvoorbeeldje:
De eerste keer vang je 120 vissen die je allemaal merkt.
De tweede keer vang je 180 vissen waarvan er 15 een merk hebben.
Dat betekent dat 15 van de 180 gelijk is aan 120 van het totaal: ¹⁵/₁₈₀ = ¹²⁰/_N
Daaruit volgt dat N = 1440.

Je geniet van de bewonderende blikken van alle sportvissers. Het zal niet lang meer duren voordat ze jou erelid hebben gemaakt, denk ik!

Aannames.

Deze methode werkt onder een aantal aannames, namelijk:

•

Er verdwijnen tussentijds geen vissen uit de vijver. Dat betekent dat de vijver afgesloten moet zijn, en bovendien dat er niet teveel vissen intussen zijn gestorven.

•

De kans om gevangen te worden is even groot voor gemerkte als voor niet-gemerkte vissen. Het moet bijvoorbeeld niet zo zijn dat je alleen "sukkels" hebt gevangen de eerste keer, want die laten zich uiteraard ook de tweede keer sneller weer vangen.
Of juist andersom: de vissen die de eerste keer zijn gevangen hebben daarvan geleerd ("dat zal mij niet wéér overkomen") en worden daarna juist minder snel gevangen.

•

De gemerkte vissen zijn na de wachtperiode gelijkmatig over de hele vissenpopulatie verdeeld.

•

De merkjes gaan niet verloren.

Maar goed, ook al is niet altijd helemaal aan al deze voorwaarden voldaan, dan nog heb je met deze methode een aardige schatting van het totaal aantal vissen.

Removal.

Er is nog een tweede manier om het aantal vissen te bepalen, en dat is de volgende.
Organiseer een aantal dagen achter elkaar een viswedstrijd met elke keer dezelfde vissers, en met elke keer dezelfde tijdsduur. Laat de gevangen vissen zolang in een apart bassin.

Dan zul je merken dat het aantal vissen op achtereenvolgende dagen steeds minder wordt (omdat de vijver langzaam leeg wordt gevist). Zoals de figuur hiernaast.

Stel dat de eerste keer 120 vissen worden gevangen en de tweede keer 110.

Als je ervan uit gaat dat het aantal vissen dat gevangen wordt evenredig is met het totaal aantal vissen (dus dat elke keer hetzelfde percentage van de aanwezige vissen wordt gevangen) dan kun je nu het totaal aantal N berekenen,
Immers "120 van de N" is gelijk aan "110 van de (N - 120)"
Ofwel ¹²⁰/_N = ¹¹⁰/_(N-120)en dat geeft N = 1440.

Door maar twee metingen te gebruiken is deze methode natuurlijk nogal onnauwkeurig. De tweede keer 2 vissen meer vangen zou in dit voorbeeld al een schatting van 1800 geven in plaats van 1440, en dat scheelt nogal.
Maar door meerdere dagen vissen te vangen kun je zo meerdere schattingen voor N krijgen en je zou daar het gemiddelde van kunnen nemen. Dat is al een betrouwbaardere waarde.

(Het kan wiskundig nóg verantwoorder, maar daarvoor moet je wat weten van differentiaalvergelijkingen en regressie. Als dat zo is zou je de verdieping hiernaast kunnen lezen)

OPGAVEN

Ik ga een onderzoek naar het spieken bij herkansingen van schoolexamens. Daarvoor heb ik een slim plannetje bedacht. Ik vraag 12 leerlingen die niet van plan waren te gaan herkansen om tóch te doen alsof. Ze gaan als het ware ‘undercover’ herkansen, maar ze krijgen van mij de opdracht om te gaan spieken tijdens die herkansing.

In totaal gaan er maar liefst 180 leerlingen herkansen.
Het blijkt dat er tijdens de gehele herkansing 15 leerlingen op spieken worden betrapt, en daarbij zijn 5 van mijn under-cover leerlingen.

Maak aan de hand van deze gegevens een schatting van het totaal aantal leerlingen dat spiekt.

24 (+12)

Een boswachter wil graag een schatting maken van het aantal konijnen in zijn bos.
Hij zet daarom een aantal vallen uit.
De eerste dag vangt hij 68 konijnen die hij allemaal een oorringetje geeft en weer loslaat.
Een week later zet hij weer een dag vallen uit. Deze keer vangt hij 112 konijnen waarvan er 8 een ringetje hebben
Maak een schatting voor het aantal konijnen in het bos.

952

Van insecteneitjes in de grond komt elke dag een vast percentage uit.
De aantallen insecten die uit de grond kwamen waren een aantal achtereenvolgende dagen gelijk aan 192, 176, 163 en 150.
Maak een schatting voor het totaal aantal insecten dat zal uitkomen.

2400

In een grote vaas zitten 50 witte knikkers en een aantal zwarte knikkers.
Ik haal er willekeurig 80 knikkers uit, en daarvan zijn er 12 wit.
Maak een schatting van het aantal knikkers in de vaas.

333

De eerste keer dat ik mijn schepnet door de vijver haal zitten er 34 kikkervisjes is.
Ik doe die visjes in een emmer.
Als ik een poosje later dat nog een keer doe, op precies dezelfde manier, zitten er 28 kikkervisjes in het net
Schat het aantal kikkervisjes dat nu nog in de vijver zit.

193