|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Integralen die afhangen van cosφ en sinφ. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als je een integraal van 0 tot 2π moet uitrekenen waarvan de integrand alleen maar afhangt van sinφ en van cosφ, dan zul je vast zelf ook wel op het idee komen om die integraal te veranderen in een integraal rond de eenheidscirkel in het complexe vlak. Als namelijk φ als reëel getal van 0 naar 2π loopt, dan draait z in het complexe vlak precies één rondje rond de eenheidscirkel. We bekijken in deze les dus dit soort integralen: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als C een route langs
de eenheidscirkel is, dan is z = eiφ
en z-1 = e-iφ
Dus dan is cosφ = (z + z-1)/2 en sinφ = (z - z-1)/(2i) verder is dz = ieiφ dφ dus dφ = -iz-1dz Voorbeeld 1. Bereken de volgende integraal: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| met de substitutie z = eiφ hierboven geeft dat het volgende: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Die integrand heeft
twee singulariteiten: eentje bij z = -1/3
en eentje bij z = -3. Alleen de eerste ligt binnen de integratieroute (eenheidscirkel) dus als we nemen f(z) = 1/(z + 3) dan geeft die integraal de waarde 2πi • f(-1/3) = 2πi • (1/(-1/3 + 3)) = 3/4πi De hele integraal wordt dan -i/0,3 • 3/4πi = 5/2π |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Voorbeeld 2. Bereken de volgende integraal (met a > b): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Substitueer
z = eix dus dz = ieix
dx dus dx = 1/iz
• dz en sinx = (eix
- e-ix)/2i =
(z - z-1)/2i =
(z² - 1)/2iz Dat geeft de volgende integraal: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De singuliere punten vind je als
de noemer nul is: z = 1/2
• ( -2ia/b
± √(-4a²/b²
+ 4) ) = -ia/b
± i√((a/b)2
- 1) Laten we die twee punten z1 en z2 noemen, z1 met het minteken en z2 met het plusteken. De integratieroute C is de eenheidscirkel, en daar ligt alleen het singuliere punt z1 binnen. Bereken het residu van dat singuliere punt. Omdat de integrand gelijk is aan 1/(z1 - z)(z2 - z) is het residu van z = z1 gelijk aan 1/(z1 - z2) = 1/2i√((a/b)² - 1) De integraal is gelijk aan 2πi • 2/b • 1/2i√((a/b)² - 1) = 2π/√(a² - b²) Dat is een resultaat dat het waard is om in een blokje te zetten: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opmerking. Als de integrand een even functie is, dan kun je op deze manier ook de integraal van 0 tot π uitrekenen, want dan is die precies de helft van de integraal van 0 tot 2π. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
