|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Sommige omwentelingslichamen zijn
erg moeilijk met de hiervoor besproken manier(en) te berekenen. Er kan
namelijk van alles mis gaan! Neem het vlakdeel onder de grafiek van y = (x - 1)(x - 3)2 hiernaast, dat we graag willen wentelen om de y-as. (dat geeft een soort "tulband"-achtige vorm met een gat erin, ik hoop dat je het je ongeveer voor kunt stellen) Bij het berekenen van de inhoud daarvan stuiten we op maar liefst DRIE problemen: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Probleem 1. Het vlakdeel dat wordt omgewenteld ligt niet tussen twee grafieken, maar hoort bij één grafiek. Het is dan niet zomaar duidelijk welke twee x-waarden van die grafiek daarbij horen. Probleem 2. Het is hier nogal moeilijk (zoniet onmogelijk) om de vergelijking van y =.... hierboven om te zetten naar x = .... Probleem 3. De y-grenzen van integratie zijn hier y = 0 en y = ????? Die top is niet zomaar zo makkelijk te vinden, en is vast ook geen "mooi" geheel getal. Kortom: bij de methode met schijfjes zoals hieronder zijn er teveel vraagtekens. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De oplossing. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De oplossing is, om
niet naar dy te kijken maar naar dx!! In de tekening hieronder is er bij een bepaalde x een cilindermantel met dikte dx getekend en hoogte y. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als je dat bij alle
x-en tussen 1 en 3 doet, dan vormen al die cilindermantels (met
verschillende hoogtes) samen precies het omwentelingslichaam (dx
uiteraard klein genoeg).. Wat is de inhoud van zo'n cilindermantel met dikte dx en hoogte y? Knip hem open, en vouw hem uit. Als dx maar klein genoeg is wordt dat ongeveer een balk. De omtrek van de bovencirkels is 2πr = 2πx, dus de oppervlakte van de cilindermantel is het bodemvlak van die balk, en dat is is 2πxy. Verder is de dikte dx dus dat geeft een inhoud van dI = 2πxydx. (Als je het nauwkeuriger wilt kun je ook de inhoud van twee cilinders van elkaar aftrekken. Een buitenste cilinder met straal bovenvlak x + dx en een binnenste cilinder met straal bovenvlak x. Dat geeft inhoud π(x + dx)2y - πx2y = πx2y + 2πxdxy + πdx2y - πx2y = 2πxdxy + πdx2y en dat laatste is te verwaarlozen (dx2 ten opzichte van dx).) Maar y = (x - 1)(x - 3)2 dus dat geeft een inhoud van dI = 2πx(x - 1)(x - 3)2dx. Integreren die boel: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = 2π • {(48,6 - 141,75 + 135 - 40,5) - (0,2 - 1,75 + 5 - 4,5)} = 2π • (1,35 - - 1,05) = 4,8π. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| En zo hebben we slim die drie problemen van hierboven vermeden..... | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
