© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
Parameterkromme en cirkelbeweging
       
Laten we eerst even terug gaan naar de eenheidscirkel:
     

       
Als een punt P rondjes om de eenheidscirkel draait, dan geldt voor de coördinaten van P:  P = (cos(a), sin(a))
Daarbij is a de hoek met de positieve x-as.
Maar wacht eens even.....

Als je die a nou gewoon t noemt, dan staat er:  P = (cos(t), sin(t))
En dat kun je natuurlijk ook gewoon zó schrijven:
       

       
En nou is 't opeens een parametervoorstelling geworden!!!
Dit is de parametervoorstelling van de eenheidscirkel.

Laten we dit idee gaan uitbreiden naar andere cirkels:

Straal van de cirkel veranderen.
       
Laten we nu de straal van de cirkel bijvoorbeeld 3 keer zo groot maken:
       

       
Dan zijn de x en de y elk gewoon ook drie keer zo groot geworden, dus dat geeft de parametervoorstelling rechtsonder (met t in plaats van a)
       
Middelpunt van de cirkel veranderen.
       
Volgende stap:  we verschuiven het middelpunt van de cirkel naar een ander punt dan de oorsprong. Neem dan bijvoorbeeld het middelpunt  (-4, 2) dan krijg je dit (met de straal nog steeds gelijk aan 3):
       

       
In de coördinaten en in de parametervoorstelling zie je dat elke x gewoon 4 kleiner is geworden en elke y 2 groter. De figuur is in zijn geheel 4 naar links en 2 omhoog geschoven. Het beginpunt (waar P op t = 0 is) is nu punt Q(-1, 2) geworden.
       
Wat kunnen we nog meer veranderen?
       
· We zouden de periode van de sinus en de cosinus kunnen veranderen. Die is nu 2p (de t was immers de a van de eenheidscirkel, en de periode van a  is 2p radialen).
Als je die periode verandert, dan verandert er niets aan de vorm van de baan. Het blijft een cirkel, alleen doorloopt punt P diezelfde cirkel nu sneller of langzamer.
(je moet natuurlijk wel de periode van x en y gelijk houden; als je dat niet doet blijft het geen cirkel: probeer maar eens)
Bij de parametervoorstelling:
 

       
  hoort een cirkel met middelpunt (-4, 2) en straal 3, waarbij de periode gelijk is aan  2p/0,5 = 4p
Dat betekent dat punt P deze cirkel één keer doorloopt in 4p seconden.
       
· We zouden het beginpunt van de beweging van P kunnen veranderen. Als punt P zich bijvoorbeeld op tijdstip t = 5 in punt Q (rechts van M) bevindt, dan moet je in de parametervoorstelling gewoon t vervangen door (t - 5)  (immers dan komt er bij t = 5 weer 0 in de sinus en cosinus te staan.
Bovenstaand voorbeeld zou dan worden:
 

       
  In dit geval zou punt P op tijdstip t beginnen in  (-6.4, 0.2)  (gewoon t = 0 invullen in bovenstaande vergelijkingen)
       
 
Voorbeeld.   Punt P volgt een cirkel met middelpunt  (3, -1) en straal 5.
De omlooptijd is 4 seconden en P begint in het punt  (3, -6).
Geef een parametervoorstelling voor de beweging van punt P.

Oplossing:
Het middelpunt is (3, -1)  dus x = 3 en y = -1 zijn de evenwichtslijnen  van de y- en x-grafieken
De straal is 5 dus dat is de amplitude van de y- en x-grafieken.
De periode is 4 dus in de formule komt  2p/4 = 0,5p
P begint recht onder M dus na 1/4 periode is P rechts naast M. Dat is op t = 1

De formules worden dan :
x(t) = 3 + 5cos(0,5p(t - 1 )  en   y(t) = -1 + 5sin(0,5p(t - 1))
       
· We zouden punt P met de klok mee kunnen laten draaien in plaats van tegen de klok in.
Dat is de makkelijkste verandering:  vervang gewoon elke t door -t.
       

Ik heb de leukste voor het laatst bewaard:
       
· We zouden het middelpunt van de cirkel kunnen laten bewegen! Dan is het alsof punt P op een draaiende schijf zit die zelf intussen ook nog beweegt.

Laat bijvoorbeeld punt M over de lijn  y = x lopen.
Dat kun je doen door voor M de parametervoorstelling  x(t) = t en  y(t) = t te nemen.
Dan zijn de coördinaten van M gelijk aan  (t, t)
Als je die gebruikt als middelpunt van een cirkel met straal 1, dan krijg je voor punt P:
       
 

       
  De snelheid van M is  vx = x'= 1 en  vy = y'= 1 dus v = √(12 + 12) = √2
De snelheid van P is 1 omwenteling in 2p seconden.

Je kunt M sneller of langzamer laten bewegen door te nemen  x(t) = at  en  y(t) = at
Hieronder zie je een paar resultaten.
       
 

       
  Maar je kunt natuurlijk ook M over een andere cirkel laten lopen, of over een parabool, of, noem maar op
Experimenteer er zelf maar eens mee.

In een latere les over bewegende vectoren zullen we er nog meer over bekijken.
       
 
 

OPGAVEN
       
1. Geef een parametervoorstelling van de volgende cirkelbewegingen:
       
  a. Middelpunt  (2, 3), straal 6 en omlooptijd 4p seconden. P begint  rechts van M, en draait tegen de klok in.
       
  b. Middelpunt (-4, 8), straal 3 en omlooptijd 10 seconden, P begint rechts van M, en draait met de klok mee.
       
  c. Middelpunt  (0, 4), straal 2 en omlooptijd 6p seconden. P begint links van M en draait tegen de klok in.
       
2. Punt P maakt een cirkelbeweging rond punt M  met straal 3 en omlooptijd 6.
P begint op tijdstip t = 0  in het punt  (0, -3) en draait tegen de klok in.
Tegelijkertijd loopt M langs de lijn y = 0,5x  met snelheid  0,5Ö5.
Op  t = 0 begint M in de oorsprong, en M  beweegt naar rechts.
       
  a. Geef een parametervoorstelling voor de baan van punt P  en schets deze baan.
       
  b. Bereken de baansnelheid van P op tijdstip t = 4
       
3. Als je bij de x vergelijking een andere amplitude neemt dan bij de y-vergelijking, dan krijg je geen cirkel, maar een soort "vervormde" cirkel. Dat noemen we een ellips.
De parametervoorstelling:   x(t) = 5 + 8cos(t)  en   y(t)  = 6 + 12sin(t)  levert de volgende ellips op:
       
 

       
  Je kunt om deze ellips een rechthoek tekenen waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen, en waar deze ellips precies in past.
       
  a. Bereken de oppervlakte van die rechthoek.
       
  De ellips snijdt de x-as in de punten P en Q.
       
  b. Bereken exact de afstand PQ.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)