| |
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
|
| |
|
 |
|
Snijpunten van cirkels met cirkels. |
| |
|
Een cirkel met een cirkel snijden
dat kan niet zomaar met behulp van substitutie (zoals in de vorige les)
Dat komt omdat een cirkelvergelijking nou eenmaal niet te schrijven
is als y = ...... (je zou een vergelijking met
+/- krijgen en bovendien zou die vergelijking nogal vervelende
wortels bevatten).
Maar als je de vergelijkingen van de beide cirkels onder elkaar schrijft
en ze dan van elkaar aftrekt, dan vallen de stukken met x2
en y2 weg!
Dat geeft een lineaire vergelijking en die kun je wél schrijven als y
= .....
Als je die dan invult in één van beide cirkels, dan kun je toch een
oplossing vinden.
Dat geeft het volgende werkschema:
| |
| Snijpunten van twee cirkels: |
1. schrijf de vergelijkingen zonder
haakjes.
2. trek ze van elkaar af.
3. schrijf het resultaat als y =
... of x = ...
4. substitueer dat in één van beide cirkels. |
|
| |
|
Voorbeeld:
Bereken de
coördinaten van de snijpunten van (x
- 3)2
+ (y - 1)2 = 25 en x2
+ y2 + 14x + 8y = 35
Oplossing
Werk de haakjes weg en schrijf ze onder elkaar:
x2 + y2 + 14x + 8y =
35
x2 + y2 - 6x - 2y = 15
Van elkaar aftrekken geeft 20x + 10y = 20
ofwel y = 2 - 2x
Substitueren in bijv. de eerste cirkel: (x
- 3)2
+ (2 - 2x - 1)2 = 25
⇒ x2
- 6x + 9 + 1 -
4x + 4x2 = 25
⇒ 5x2
- 10x - 15 = 0
⇒ x2
- 2x - 3 = 0
⇒ (x + 1)(x
- 3) = 0
⇒ x = -1 ∨
x = 3
Dat geeft vervolgens met y = 2 - 2x de
snijpunten (-1, 4) en (3, -4). |
|
| |
|
| En omdat het snijden van een
cirkel met een cirkel uiteindelijk steeds een kwadratische vergelijking
geeft, geldt hier ook weer dat het aantal oplossingen afhankelijk is van
de discriminant van die
vergelijking: |
| |
|
|
 |
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
| |
|
|
|
| 1. |
Bereken algebraïsch de coördinaten
van de volgende snijpunten: |
| |
|
|
|
| |
a. |
De cirkels (x
- 5)2
+ (y - 11)2 = 40 en x2
- 20x + y2
2y + 46 = 0 |
| |
|
|
|
| |
b. |
De cirkels x2
+ y2 - 4x -
8y = 110 en x2
+ y2 + 8x = 10 |
| |
|
|
|
| |
c. |
De cirkels x2
+ 2x + y2 = 6y + 1575
en x2 + (y
- 14)2 = 26x + 465 |
| |
|
|
|
| 2. |
Je kunt ook een raaklijn aan een
cirkel opstellen vanuit een punt P buiten de
cirkel. |
| |
Zie de figuur hiernaast.
PRM is een rechthoekige driehoek.
Je kunt berekenen hoe groot RM en PR zijn.
Dus kun je met Pythagoras ook PR berekenen.
Als je nu een tweede cirkel opstelt met middelpunt P en
straal PR dan kun je punt R vinden door deze
tweede cirkel met de gegeven cirkel te snijden!!
Beantwoord met deze methode de volgende vraag: |
 |
| |
|
|
|
| |
Er zijn twee lijnen door het punt P(8, 3) die de
cirkel x2 + y2
- 4x - 2y = 15 raken.
Geef vergelijkingen van die lijnen. |
| |
|
|
|
 |
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
| |
|
|
|
|