© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Cycloïden
       
Cycloïden zou je grofweg kunnen omschrijven als "Banen die ontstaan door cirkelbewegingen".
Dat klinkt nogal simpel, maar kan toch best interessant worden, vooral als een punt aan meerdere cirkelbewegingen tegelijk deelneemt. In deze les zullen we formules voor zulke banen gaan opstellen.
       
Handig Hulpje.

Eerst maar even een handig hulpje, en dat is het volgende:

"Als je van een cirkel met straal r een deel van de omtrek neemt dat hoort bij middelpuntshoek α, dan is de lengte daarvan rα"

Dat hoort bij de figuur hiernaast. De hele omtrek is 2πr en die hoort bij hoek 2π radialen, dus bij hoek α hoort  2πr • α/2π = rα

       
1.  De Cycloïde
       
Als een wiel  met straal 1 en snelheid 1 over een vlak oppervlak rolt, dan beschrijft een punt op de omtrek van dat wiel een parameterkromme die  cycloïde heet. Dat ziet er ongeveer zó uit (de rode lijn):
       

       
In de situatie hiernaast is de oorsprong P0. Na t seconden is dat punt in P aangekomen en heeft het de rode baan doorlopen.
Omdat de blauwe stukken gelijk zijn aan elkaar geldt dat
P0R = t  en dus is ook boog PR = t dus ook ∠RMP = t
Laten we de x-coördinaat en de y-coördinaat van P apart berekenen.
Bedenk dat  ∠SMP = t - 1/2π en gebruik sos-cas-toa in driehoek MSP

xP  = PR - QR
= PR - MS
= t - cos(t - 1/2π)
= t - sint
       
yP = SQ + SP
= MR + SP
= 1 + sin(t - 1/2π)
= 1 - cost 		 
       
Daarmee hebben we de parametervergelijkingen voor de cycloïde gevonden.  Als de straal niet 1 is, maar r, dan wordt alles gewoon met r vermenigvuldigd. Verder maakt de snelheid natuurlijk niets uit voor de vorm van de baan (alleen komen er dan bij elk punt andere t-waarden).
       

       
De cycloïde is een beroemde figuur uit de geschiedenis van de wiskunde. Het (zij?) wordt wel de "Helena van de Geometrie" genoemd. Meer daarover in de volgende twee lessen.
     
       
1. a. In 2π seconden maakt het wiel één omwenteling.
Bereken de lengte van de baan die punt P dan heeft afgelegd.
       
  Het feit dat er zo'n mooi rond getal uit deze lengte komt doet ons vermoeden dat we de lengte misschien ook wel algebraïsch zouden kunnen berekenen.
Voor de snelheid v geldt  v(t) = √(2 - 2cost)
       
  b. Toon dat aan.  
       
  Een primitieve van √(1 - cost)  voor x tussen 0 en π  is  -2√(1 + cost)
       
  c. Toon dat aan door deze primitieve te differentiëren. Leg ook uit waarom deze primitieve alleen geldt voor x tussen 0 en π.
       
  d. Bereken met deze primitieve de lengte van de baan van P gedurende één omwenteling algebraïsch.
     
  e. Toon aan dat de lengte van de baan gelijk is aan  8r  waarbij r de straal van de cirkel is.
     
     
2. Toon aan dat de oppervlakte onder één zo'n boog gelijk is aan  3πr2 waarbij r de straal van de cirkel is.
       
       
2.  De Hypocycloïde.
       
Het wordt natuurlijk nog leuker als we cirkels langs cirkels laten rollen.....

De hypocycloïde  is de kromme die wordt beschreven door een punt P dat op de omtrek van een kleinere cirkel ligt die langs de binnenkant van een grotere cirkel rolt. Laten we een cirkel  met straal 5 en middelpunt M nemen waarlangs een cirkel met straal 2 en middelpunt N rolt. Op tijdstip t = 0 is de situatie als links hieronder getekend.
       

       
Als de draaihoek a is dan is de blauwe booglengte langs de grote cirkel in de figuur rechts gelijk aan 5a.
Maar dan is de blauwe booglengte langs de kleine cirkel óók gelijk aan 5a omdat die stukken langs elkaar zijn gerold. Punt P is ten opzichte van M gedraaid over een hoek α + β en dat is  21/2α,  zodat  β = 11/2α.

Met xAB bedoelen we voortaan:  de x coördinaat van A ten opzichte van B (dus xA - xB)
Voor de x-coördinaat van P geldt dan   xP = xPO  = xMO + xPM 

xMO = xM = 3cosα  (de gestippelde cirkel heeft straal 3)
trek een lijnstukje van P loodrecht omhoog, dan geldt:  xMP = 2cosβ = 2cos(11/2α)
Daaruit volgt  xP = 3cosα + 2cos(11/2α)

Voor de y-coördinaat van P vinden we op precies dezelfde manier  yP = 3sinα - 2sin(11/2α). Ga dat zelf maar na.

Als we tenslotte de stralen 5 en 2 van de cirkels vervangen door R (straal grote cirkel) en r (straal klein cirkel) dan geeft dat de algemene vergelijking voor de hypocycloïde;
       

       
       
3. Neem de kromme uit het voorbeeld, dus met stralen 5 en 2.
       
  a. Toon aan dat de periodes van x(α) en y(α) beiden gelijk zijn aan 4π, dus de periode van kromme K ook.
       
  b. Leg uit hoe je met de afmetingen van de cirkels al kunt beredeneren dat K vijf keerpunten zal hebben.
Bereken vervolgens met de vergelijkingen van K de coördinaten van de keerpunten.
       
  c. Schets kromme K.
       
       
4.

Een cirkel kan natuurlijk ook om een andere cirkel heen rollen, zoals je hiernaast ziet. De kromme die punt P dan beschrijft heet een epicycloïde.
     
  a. Kies M als oorsprong en geef een parametervergelijking voor de kromme die punt P beschrijft. Bedenk daarbij dat die rode cirkeldelen even lang zijn.
       
  b. Als R = r dan heet deze epicycloïde een cardioïde.
Plot die cardioïde.
       
  c. Als R = 2r dan heet deze epicycloide een nefroïde.
Plot die nefroïde.
       
       
3.  Meerdere Cirkelbewegingen.
       
Op een kermis staan vaak draaimolens die bestaan uit een grote arm die ronddraait en waaraan een kleinere bakjes is vastgemaakt die óók om zijn middelpunt draait. Zie de figuur hiernaast.

Wiskundig gezien kunnen we dit zien als een punt P dat in een cirkelbaan om M draait, terwijl een punt Q weer in een kleinere cirkel om P draait.
     

       
Neem als oorsprong punt M. Stel dat de grote cirkel straal 8 meter heeft en ronddraait in 20 seconden en dat de kleine cirkel straal  3 meter heeft en dat Q om P draait in 5 seconden. Laat P en Q op tijdstip t = 0 op de positieve x-as beginnen. Dan is de situatie als volgt:
       

       
Als de grote cirkel 2π radialen in 20 seconden draait, dan geldt voor de draaihoek:  α = 2π/20t = 0,1πt
In de linkerfiguur hierboven zie je dat dan geldt  xPM = 8cosα = 8cos(0,1πt)  en  yPM = 8sinα = 8sin(0,1πt)

Als de kleine cirkel 2π radialen in 5 seconden draait,  dan geldt voor de draaihoek ten opzichte van P:  β = 2π/5t = 0,4πt. In de rechterfiguur hierboven zie je dat dan geldt  xPQ = 3cosβ = 3cos(0,4πt)  en  yPQ = 3sinβ = 3sin(0,4πt)

Maar voor de  x coordinaat van Q ten opzichte van M geldt: 
xQ = xPM + xPQ =  8cos(0,1πt) + 3cos(0,4πt)     (merk nog even op dat die cos er meteen rekening mee houdt of xPM en xPQ positief of negatief zijn!)
En voor de y -coördinaat van Q ten opzichte van M geldt op dezelfde manier:  yQ = 8sin(0,1πt) + 3sin(0,4πt)

samen geeft dat:

       
       
5. a. Bereken de maximale baansnelheid van punt Q
     

2π
  b. Bereken de afstand die punt Q in één periode aflegt.
     

84
  c. Plot de baan van Q.
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)