De Doelstellingsfunctie.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
In de vorige les zagen we dat je niet altijd alles maar kunt doen wat je wilt; er zijn meestal beperkende voorwaarden, Die hebben tot gevolg dat je je in je keuzes moet beperken tot een toelaatbaar gebied.
Deze les gaan we bekijken hoe je binnen de grenzen van dat toelaatbare gebied kunt beslissen hoe je jouw wensen kunt optimaliseren. Daarvoor moet je je natuurlijk één ding afvragen:
       

Wat wíl ik eigenlijk?
       
In de wiskunde zeggen we: 
                  "Wat is je doelstellingsfunctie"    ofwel    "Wat wil je eigenlijk maximaal of minimaal maken?"
       
Kijk, voor Dagobert Duck is het eenvoudig. Hij wil altijd meer één ding maximaal maken (en voor de meeste bedrijven geldt dat trouwens óók):   GELD natuurlijk.

Dagobert heeft (los van zijn pakhuis) twee rekeningen lopen bij de bank in Duckstad. De eerste is een lopende rekening waarop hij 2% rente krijgt (en ook 2% moet betalen als hij rood staat). De tweede is een spaarrekening waarop hij 8% rente krijgt en waarop hij niet rood mag staan.

Op de lopende rekening mag niet meer staan dan 10000 gulden. Verder stelt de bank de eis dat het verschil tussen beide rekeningen niet meer mag zijn dan 5000 gulden.
In totaal heeft Dagobert een bedrag van 18000 gulden dat hij geheel of gedeeltelijk over beide rekeningen wil gaan verdelen.
 
Uiteraard is de grote vraag voor Dagobert:  "Hoe verdeel ik dat geld om zoveel mogelijk rente te krijgen?"

Als hij L euro op de lopende rekening zet, en  S euro op de spaarrekening, dan zal hij in totaal R = 0,02L + 0,08S rente krijgen. Wiskundig vertalen we zijn probleem daarom als volgt:
 

Maximaliseer de doelstellingsfunctie R = 0,02L + 0,08S
       
Natuurlijk zullen we daarbij rekening moeten houden met het toelaatbare gebied. Daarom gaan we dat eerst maar eens tekenen.
Wat zijn de beperkingen?
       
beperking: vergelijking: gebied:
   
niet meer dan 10000 op lopende rekening L ≤ 10000
niet meer dan 5000 verschil L - S ≤ 5000 en  S - L < 5000
in totaal maximaal 18000 euro L + S ≤ 18000
niet rood op spaarrekening S ≥ 0
   
Dat geeft het groene toelaatbare gebied hiernaast. (Ga dat zelf maar na).
Dus zitten we nu met de vraag:  Waar in dit gebied is R maximaal?
       
 

Om daar achter te komen moet je je realiseren dat de vergelijking
R = 0,02L + 0,08S voor elke vaste waarde van R een rechte lijn voorstelt.

Hiernaast is die lijn getekend voor R = 400  (die gaat door (0, 5000) en (20000, 0)) Alle punten van die rode lijn horen daarom bij de waarde R = 400.
     
Hiernaast zijn nog een paar zulke lijnen getekend (willekeurig voor R = 200 en 600 en 800).

Ik hoop dat je daaraan wat opvalt.

Ze zijn allemaal evenwijdig.
Schuin naar rechtsboven toe neemt de waarde van R steeds meer toe.
Maar dat betekent dat de grootste R-waarde in dit toelaatbare gebied te vinden is door die lijnen nog verder naar rechtsboven te schuiven (evenwijdig aan elkaar natuurlijk) .
Net zolang totdat je nog nét het toelaatbare gebied raakt.
Dat ziet er dan ongeveer uit zoals hieronder.
     

       
En nu weet je zeker dat in dat laatste gele punt daar helemaal bovenin de grootst mogelijk R-waarde voor dit gebied zit.
Dat punt is het snijpunt van de vergelijkingen  S + L = 18000 en  S - L = 5000  en dat is het punt (6500, 11500)
De rente is daar R = 0,02 • 6500 + 0,08 • 11500 =  €1245,-

Meer valt er voor Dagobert niet te halen.....
       
Samenvattend, welke stappen hebben we nou genomen om dat maximum te vinden?
       
1 Kies variabelen en teken het toelaatbare gebied.
2. Stel een doelstellingsfunctie D op.
3. Teken een paar niveaulijnen, en zoek daarmee de plaats van het maximum/minimum van D
4. Bereken de coördinaten en daarna de maximale/minimale D.
       
           
  OPGAVEN
           
1. Laatst besloot ik maar eens af te gaan vallen, en kocht bij de Slegte het boekje "100 diëten met een glimlach". Eén van de diëten daarin sprak mij bijzonder aan; dat was het zogenaamde "Weekend-Vreet-Dieet". Het werkt als volgt: door de week eet je als normaal, maar in het weekend eet je alleen maar moorkoppen en chocoladetaartjes!

Uit de Dikke van Dale:
 
Moorkop m - koppen
Negerzoen. Met chocolade bedekte en met slagroom gevulde soes. Gewicht 40 gram. Bevat 200 calorieën
Chocoladetaartje  m - tjes
Gebakje met chocolade. Gewicht 80 gram. Bevat 100 calorieeën
           
  Bij de bakker kost een moorkop 1 euro en een chocoladetaartje 4 euro Ik wil in het weekend maximaal 1600 calorieën binnenkrijgen. Verder moet ik wel minstens 400 gram voedsel krijgen, en ik wil per se minstens 3 chocoladetaartjes eten.
Verder stel ik nog de vreemde eis dat het aantal door mij opgegeten moorkoppen minstens de helft is van het aantal chocoladetaartjes.
           
  a. Teken met deze voorwaarden een toelaatbaar gebied en minimaliseer het door mij uitgegeven bedrag in zo'n weekend. (neem aan dat de aantallen moorkoppen/chocoladetaartjes niet geheel hoeven te zijn).
           
  b. Hoeveel verlaging van de prijs van chocoladetaartjes zou mij doen besluiten een groter aantal zulke taartjes in een weekend te gaan eten?
           
2.

Het is binnenkort weer Sint Maarten dus ik ga een aantal Marsen en een aantal Bounty's kopen. Een Mars kost €0,65 en een Bounty €0,52.
Een Mars bevat 390 calorieën en een Bounty 650. Ik wil voor hoogstens €52,- aan snoep kopen maar wel in totaal minstens 39 kcal (39000 calorieën).
Ik wil hoogstens 80 Bounty's kopen en tenslotte mag het aantal Marsen dat ik koop hoogstens de helft van het aantal Bounty's zijn.

Hoeveel stuks snoepgoed kan ik maximaal kopen?
           
3. Vitaminepillen worden tegenwoordig erg veel geslikt. Hiernaast zie je twee veel verkochte merken. Nou is dat slikken eigenlijk helmaal niet nodig; een normaal mens in de Westerse wereld krijgt echt genoeg vitaminen binnen. Extra pillen slikken is eigenlijk alleen een manier om hele dure urine te produceren....
Maar goed, sommige mensen slikken nou eenmaal alles.....

 
Meneer Cornelisse is zo iemand.
Hij koopt zelfs beide merken Centrum en Dagravit tegelijk.

Nou bestaan deze twee soorten vitaminepillen uit drie werkzame bestanddelen, namelijk foliumzuur (vitamine B11) en fytomenadion (vitamine K)  en ascorbinezuur (vitamine C). Laten we ze B, K en C noemen.

De minimale hoeveelheden vitamine B, K en C die je op een dag nodig hebt en de hoeveelheden in de tabletten Centrum en Dagravit staan in de volgende tabel (alles in mg en alles per tablet)
           
 
  B K C
Centrum
Dagravit		 1
1		 1
2		 10
5
dagelijkse dosis 3 4 20
           
  Dagravit kost €0,09 per tablet en Centrum kost €0,05 per tablet.
Hoe moet meneer Cornelisse zijn tabletten per dag kiezen om zo goedkoop mogelijk uit te zijn en wel zijn dagelijkse hoeveelheid van de vitaminen binnen te krijgen? (neem het onwerkelijke geval dat hij verder helemaal geen vitaminen binnenkrijgt)
           
4. De bakkerij Bolletje maakt Boerenbeschuit en Sesambeschuit  met dezelfde drie machines een kneedmachine, een oven en een inpakmachine.

De kneedmachine kan per uur de ingrediënten voor  maximaal 180 rol boerenbeschuit kneden of 100 rol Sesambeschuit.
De oven  kan per uur 300 rol Boerenbeschuit en 600 rol Sesambeschuit bakken
De inpakmachine  kan per uur van beide soorten 200 rol verpakken.
De kneedmachine is per week 120 uur beschikbaar, de oven 40 uur en de inpakmachine 70 uur.  
           
  a. Stel beperkende voorwaarden op en teken een toelaatbaar gebied.
           
  De winst op een rol Boerenbeschuit is €0,08 en op een rol Sesambeschuit €0,10
           
  b. Wat is de maximaal haalbare winst voor de bakkerij in een week?
           
  c. Welk van de machines is onderbezet en hoeveel procent van de tijd wordt dat apparaat niet gebruikt , als de bakkerij kiest voor maximale winst?
           
5. Een student gaat voor in zijn kamer  bij IKEA twee kasten kopen om zijn studieboeken in op te bergen. Zijn kamer is 3 meter hoog, en heeft een vloer van 4 bij 5 meter.
De student gaat kasten met afmetingen a • b • b waarbij het grondvlak a • b is kopen. Hij zet ze in een hoek van zijn kamer zoals in de figuur hiernaast is geschetst.

De kasten moeten uiteraard in de kamer passen, en verder wil hij graag dat het grondoppervlakte van de kasten samen minstens 0,4 m2 is.

           
  Deze voorwaarden leveren het toelaatbare gebied hiernaast op.

       
  a. Leg uit waar de grenslijnen vandaan komen.
       
  De student wil natuurlijk graag de inhoud van beide kasten samen maximaal hebben, dus hij wil de doelstellingsfunctie  I = 2ab2 maximaliseren op dit gebied.
       
  b. Teken een paar niveaulijnen in het gebied hiernaast, en probeer daarmee zo goed mogelijk de maximaal haalbare inhoud te vinden.
           
  Omdat die maximale inhoud met al die kromme grafieken nogal lastig te vinden is, verzint de student het volgende geniale idee ('t is waarschijnlijk een wiskundestudent).
Hij tekent het toelaatbare gebied plus enkele niveaulijnen op dubbellogaritmisch papier!!!
           
  c. Los het probleem van de student op deze geniale manier op.
           
  Maar zijn vriendin is nog veel slimmer! Die ziet aan het toelaatbare gebied van vraag b al wel dat het maximum op de lijn a + b = 5 zal liggen.  Met deze voorwaarde kan zij het probleem van de inhoud terugbrengen tot  één variabele en daarmee veel eenvoudiger maximaliseren.
           
  d. Los het probleem op deze manier nogmaals op.
           
6. Een chemische fabriek produceert twee soorten zout;  X en Y
Om deze zouten te maken zijn als basisingrediënten een zuur en een base nodig.

Voor het maken van 1 eenheid X zijn 6 eenheden zuur en 1 eenheid base nodig
Voor het maken van 1 eenheid Y zijn 4 eenheden zuur en 2 eenheden base nodig.

Per dag zijn 24 eenheden zuur en 6 eenheden base voorradig.
Zout X levert per eenheid €5,- op, en zout Y levert per eenheid €4,- op.
Van zout Y worden maximaal per dag 2 eenheden verkocht, en bovendien is de verkochte hoeveelheid van zout Y hoogstens één eenheid meer dan van zout X.

Welke dagproductie moet de chemische fabriek maken om maximale opbrengst te krijgen?
Hoe groot is die maximale opbrengst?
         

X=3, Y=1,5
O = 21
 
7. Een moeder van een leerling wil voor de sponsordag van de school een hoeveelheid zandgebak en een hoeveelheid zandgebak maken.
Haar recepten vermelden de volgende ingrediënten:
           
 
  zandtaart schuimgebak
bakmeel
melk
eieren		 700 gram
0,5 liter
1		 300 gram
1 liter
4
           
  a. Zij heeft de beschikking over in totaal 17 kg bakmeel, 16 liter melk en 60 eieren.
Geef ongelijkheden die deze beperkingen weergeven.
           
  b. Helaas heeft ze de beschikking over één klein oventje waarin per keer 1 zandtaart of 1 schuimtaart kan. Een schuimtaart moet 2 uur in de oven, en een zandtaart 3 uur.
De goede vrouw is bereid om zes dagen lang 10 uur per dag haar oven te laten bakken.
Geef een ongelijkheid die dat aangeeft. 
         

2s + 3z < 60
  c. Bakmeel kost €2 per kg, eieren kosten €0,20 per stuk en melk kost €1 per liter.
Aan overige ingrediënten is de vrouw aan een zandtaart €3 kwijt en aan een schuimtaart €4. 
De oven kost €1 per uur.
Beide soorten gebak worden uiteindelijk voor €10 per stuk verkocht.
Geef een formule voor de te verwachten winst W. Ga ervan uit dat alles verkocht gaat worden.
       

W = 1,9z + 0,4s
  d. Teken het toelaatbare gebied en bereken hoeveel zandtaarten en hoeveel schuimtaarten de vrouw moet gaan bakken om een zo groot mogelijke winst te halen.
           
8. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1987.

Men gaat een terrein exploiteren als parkeerterrein.
Er is ruimte voor 75 auto's.
Men kan ook parkeerruimte voor autobussen scheppen, maar elke parkeerplaats voor een autobus gaat ten koste van drie parkeerplaatsen voor personenauto's. Een parkeerplaats voor een personenauto zal gemiddeld f 8,- per dag opleveren en een parkeerplaats voor een autobus gemiddeld per dag  f 20,-. Men wil minstens 10 parkeerplaatsen voor autobussen aanleggen. Verder mag het aantal parkeerplaatsen voor personenauto's niet minder dan drie maal het aantal voor autobussen zijn en ook niet meer dan acht maal het aantal voor autobussen.
Noem het aantal parkeerplaatsen voor personenauto's x en het aantal parkeerplaatsen voor autobussen y.
           
  a. Stel de beperkende voorwaarden voor x en y op.
Teken in een rechthoekig assenstelsel Oxy het gebied waarin aan de gestelde voorwaarden wordt voldaan.
           
  b. Bereken bij welke aantallen parkeerplaatsen voor personenauto's en autobussen de opbrengst per dag maximaal is en bereken deze opbrengst.
           
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1999.

De gemeente A. kan van een particuliere eigenaar een stuk grond kopen van 36000 m2. De betrokken wethouder wil het terrein kopen en een deel als park inrichten, een deel doorverkopen aan een volkstuinvereniging, en de rest doorverkopen aan de firma TuinTotaal, die daar een tuincentrum wil vestigen.

De gemeenteraad stelt als eis dat de oppervlakte die voor het park beschikbaar blijft ten minste 1,5 maal zo groot is als de oppervlakte van het deel dat aan de volkstuinvereniging wordt verkocht.
Als voorwaarde noemt de firma TuinTotaal in het overleg met de wethouder het aantal m2 dat minimaal nodig is voor het tuincentrum.

Een ambtenaar gaat met bovenstaande gegevens aan de slag. Het aantal m2 park noemt zij x en het aantal m2 volkstuinen y zodat er 36000 - x - y m2 voor het tuincentrum overblijft. Zij maakt een figuur die ook de voorwaarde van de firma TuinTotaal bevat. Deze figuur staat hieronder. In de figuur is het toegestane gebied grijs.
           
 

           
  a. Leid uit de figuur af hoeveel m2 volgens de firma TuinTotaal minimaal nodig is voor het tuincentrum.
           
  De gemeenteraad stelt ook nog als eis dat de kosten voor de aankoop van de grond en de inrichting van het park niet hoger zijn dan de opbrengst uit het doorverkopen van de grond. Hierbij geldt:
           
  • Het inrichten van het park kost de gemeente 105 gulden per m2
  • De volkstuinvereniging betaalt 120 gulden per m2 .
  • De firma TuinTotaal betaalt 300 gulden per m2
  • De aankoopprijs van de grond ligt nog niet vast. Daarover moet de wethouder nog met de eigenaar onderhandelen.
           
  De wethouder wil weten hoeveel invloed de aankoopprijs van de grond heeft op de te realiseren aantallen m2 park en volkstuinen.
Volgens de ambtenaar geldt bij een aankoopprijs van p gulden per m2 de volgende beperkende voorwaarde: 
9x + 4y  ≤ 240000 - 800p
           
  b. Toon aan dat deze voorwaarde klopt.
           
  Deze laatste voorwaarde geeft voor elke waarde van p een andere grenslijn en dus een ander toegestaan gebied.
           
  c. Teken in bovenstaande figuur de grenslijn voor p = 75 en geef het nieuwe toegestane gebied aan.
           
  De gemeenteraad streeft bij de verdeling van de grond naar een zo hoog mogelijke waardering door de bevolking. Deze waardering wordt uitgedrukt in waarderingspunten: 2 punten per m2 voor het park,  1 punt per m2 voor de volkstuinen en 0 punten per m2 voor het tuincentrum. W is het totale aantal waarderingspunten.
           
  d. Bereken, bij een aankoopprijs van 75 gulden per m2, bij welke waarden van x en y geldt dat W zo hoog mogelijk is.
           
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2009.

Containers zijn er in verschillende maten. De inhoud van containers wordt uitgedrukt in TEU (Twenty-feet Equivalent Unit). Een container met een lengte van 20 feet (ruim 6 meter) heeft een inhoud van 1 TEU.
Een vervoerder transporteert vanuit een containerterminal in Duitsland wekelijks minstens 1000 TEU naar Rotterdam. De vervoerder maakt gebruik van goederentreinen en binnenvaartschepen. Een goederentrein vervoert 80 TEU en een binnenvaartschip 50 TEU. De vervoerder heeft de beschikking over 15 binnenvaartschepen. Vanwege de lange reistijd op het traject Duitsland–Rotterdam–Duitsland kunnen deze elk wekelijks één keer ingezet worden. De vervoerder kan op maandag maximaal 3 goederentreinen laten rijden. Op dinsdag tot en met vrijdag heeft hij de beschikking over maximaal 2 goederentreinen per dag. In het weekend maakt hij geen gebruik van het spoor.

Stel dat hij per week g goederentreinen inzet en b binnenvaartschepen.
Dan gelden voor g en b de volgende vijf beperkende voorwaarden:
g ≥ 0; b ≥ 0;  g ≤ 11; b ≤ 15 en 8g + 5b ≥ 100.
           
  a. Laat zien hoe de voorwaarden g ≤ 11 en 8g + 5b ≥ 100 volgen uit de gegevens.
           
  De vijf beperkende voorwaarden kunnen in het volgende assenstelsel worden getekend en vervolgens kan het toegestane gebied worden aangegeven. Houd hierbij rekening met het feit dat b en g alleen gehele getallen mogen zijn.
           
 

           
  b. Teken het toegestane gebied in deze figuur.
           
  Het transport van 80 TEU met een goederentrein kost 7000 euro. Het transport van 50 TEU met een binnenvaartschip kost 3500 euro. De vervoerder streeft naar zo laag mogelijke transportkosten.
           
  c. Toon aan dat er precies twee mogelijke oplossingen zijn waarvoor de transportkosten zo laag mogelijk zijn.
           
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)