eenheidscirkel


De eenheidscirkel.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een eenheidscirkel is een cirkel met straal 1, en als middelpunt de oorsprong.

Hiernaast zie je er eentje.

't Is op zich nog niet zo interessant natuurlijk, want alle cirkels zien er eigenlijk hetzelfde uit. Maar het wordt pas leuk als we sos-cas-toa gaan toepassen.

Daarvoor is een driehoek nodig, en die maken we door een punt P rondjes te laten draaien vanaf (1,0) langs de cirkel tegen de klok in.

Noem de hoek die OP met de positieve x-as maakt hoek α. (dat is dus de hoek waarover P is gedraaid vanaf beginpunt (1,0))
Dan kun je een rechthoekige driehoek tekenen met als hoekpunten O, P en de projectie van P op de x-as (P'). Dat is hiernaast gebeurd.

Pas nu sos-cas toe in deze driehoek en er gebeurt iets wonderbaarlijks.
sin α = ^PP'/_OP en cos α = ^OP'/_OP

Maar omdat dit een eenheidscirkel is met straal 1 geldt dat OP = 1.
Dus worden de vergelijkingen hierboven: sinα = PP' en cosα = OP'

Dat staat in de figuur hiernaast aangegeven.
De cosinus van hoek α is het blauwe lijnstukje en dat is de x-coördinaat van punt P.
De sinus van hoek α is het rode lijnstukje en dat is de y-coördinaat van punt P.



1.	Teken een eenheidscirkel, en lees daaruit de volgende sinussen en cosinussen af:
	a.	sin 40º	d. sin 50º
	b.	cos 75º	e. sin 90º
	c.	cos 20º	f. cos 0º

2.	Teken een eenheidscirkel en beantwoord daarmee de volgende vragen:

	a.	Van welke hoek is de sinus gelijk aan 0,6?

	b.	Van welke hoek is de cosinus gelijk aan 0,2?

Nieuwe afspraak over sinus en cosinus:

Van een punt P op de eenheidscirkel, waarvan OP een hoek α met de positieve x-as maakt geldt:

x_P = cos α
y_P = sin α

Maar wat hebben we hieraan?

Nou ja, het maakt het ons mogelijk de begrippen sinus en cosinus in meer gevallen te gebruiken dan eerst.
Zo konden we het met onze sos-cas-toa afspraak eigenlijk nooit hebben over de sinus van een hoek van bijvoorbeeld 150º. Je kunt immers geen rechthoekige driehoek tekenen met ook nog een hoek van 150º?

Maar vanaf nú bestaat sin 150º wél!!!

Je laat punt P gewoon 150º draaien vanaf (1,0) en meet de y-coördinaat van het punt waar je dan uitkomt. Die afstand is dan sin120º. Het is de lengte van het rode lijntje hiernaast (ongeveer 0,5 zo te zien)

En deze nieuwe afspraak geeft nog meer mogelijkheden:

Negatieve hoeken? Geen probleem!

Waarschijnlijk zul je het zelf wel raden als je zou moeten gokken. Voor een negatieve hoek draaien we gewoon de "andere kant op" dus met de klok meet vanaf de positieve x-as.
Hiernaast zie je dat cos(-70º) ongeveer gelijk is aan 0,3

Groter dan 360º? Geen probleem!

Gewoon doen alsof je niets door hebt: voor een hoek van meer dan 360º draai je meer dan één rondje rond de eenheidscirkel. Hiernaast zie je dat sin(405º) ongeveer gelijk is aan 0,7

Kijk uit! Een sinus of cosinus kan nu ook negatief zijn!!!!!

Wanneer is dat zo? Nou, gewoon de afspraak letterlijk volgen: als de x_P of de y_P negatief is, dan is de cosinus of de sinus bij die hoek dat dus ook.
Hiernaast zie je bijvoorbeeld dat cos(145º) ongeveer gelijk is aan -0,8

3.	Bij welke hoeken tussen 0º en 360º is de sinus negatief? En bij welke hoeken is de cosinus negatief?

4.	Leg uit welke sinus of cosinus in onderstaande figuren wordt "uitgebeeld".



5.	a.	Toon met een figuur aan dat sin(20º) = sin(160º)
	b.	Toon met een figuur aan dat cos(110º) = cos(250º)
	c.	Toon met een figuur aan dat sin(330º) = - sin(30º)