© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Evenredig
Soms gaan dingen "gelijk op"
Daar bedoel ik mee, dat als de één 10 keer zo groot wordt, dan wordt de ander dat ook. En als de één 5 keer zo klein wordt, dan wordt de ander dat ook.
Dat heet in de wiskunde  recht-evenredig.
Paar simpele voorbeeldjes van dingen die recht evenredig zijn:
       
• Ik koop een aantal flessen wijn, elk voor €6,50. De totale kosten (K)  voor die flessen wijn zijn recht evenredig met het aantal gekochte flessen (A).
• Jolanda krijgt in een sponsorloop €3,40 per heel rondje dat zij loopt. Haar totale opbrengst (O) is recht evenredig met het aantal hele rondjes (n) dat zij loopt.

•

 Op vakantie op een camping betaal ik  €45,- per nacht. Het bedrag (B) dat ik uiteindelijk moet betalen is recht evenredig met het aantal; dagen (d) dat ik op de camping sta.
       
Berekeningen met recht-evenredige verbanden.

Met recht-evenredige verbanden kun je op twee manieren een berekening maken.

1.  Met een verhoudingstabel.
Op de eerste plaats kun je een verhoudingstabel maken.
Stel dat de rente die ik op een bankrekening krijg recht evenredig is met het bedrag dat erop staat. Als ik weet dat ik bij een bedrag van  €450,-  precies €9,- rente krijg, hoeveel rente krijg is dan voor €1240,-?
Nou, om dat te berekenen maak je de volgende verhoudingstabel:
 
bedrag 450 1240
rente 9 ??
       
?? = 1240 • 90/450 = €24,80

2. Met een formule.
       

Bij een recht-evenredig verband hoort de formule  y = a  •  x
       
Daarbij is a een constant getal.
Bij de drie voorbeelden hierboven horen de formules:  K = 6,5 • A  en  O = 3,40 • n  en   B = 45 • d

Laten we dezelfde vraag  nog eens beantwoorden:
Stel dat de rente die ik op een bankrekening krijg recht evenredig is met het bedrag dat erop staat. Als ik weet dat ik bij een bedrag van  €450,-  precies €9,- rente krijg, hoeveel rente krijg is dan voor €1240,-?
Noem de rente R en het bedrag B, dan geldt  R = a • B
9 = a • 450  geeft dan  a = 0,02 dus de formule is  R = 0,02 • B
B = 1240  geeft dan   R = 0,02 • 1240 = 24,80.

Ik hoop dat je ziet dat y = a • x  gewoon de formule van een lineair verband is (y = ax + b) met als enige voorwaarde
dat b = 0
Daarom geldt voor de grafiek van een recht-evenredig verband:
       

De grafiek van een recht-evenredig verband is een rechte lijn door  (0,0)
       
Omgekeerd evenredig.

Het zal je niet verbazen dat het bij een omgekeerd evenredig verband precies omgekeerd gaat!
Als de ene nu 5 keer zo groot wordt, dan wordt de andere juist 5 keer zo klein. Ze gaan nu niet gelijk op, maar juist tegengesteld.

Paar simpele voorbeeldjes van dingen die omgekeerd-evenredig zijn:
       
• Guusje gaat op zijn verjaardag 1200 gram snoep gelijk verdelen over alle kinderen op zijn feestje die komen. De hoeveelheid snoep (S) die iedereen krijgt is omgekeerd evenredig met het aantal kinderen (k) dat er is.
• De elektrische weerstand (R) van een stroomdraad is omgekeerd evenredig met de oppervlakte van de doorsnede  (O) van die draad.

•

 Een grote schutting langs een stuk snelweg moet worden geschilderd. Eén schilder zou daar 40 uur over doen.
Als er meer schilders (die even snel schilderen) samen aan zouden werken dan is er een evenredig verband tussen het aantal schilders (s) en de benodigde tijd (t)
       
Berekeningen met omgekeerd-evenredige verbanden.
       

Bij een omgekeerd-evenredig verband hoort de formule   y = a/x
       
Daarbij is a een constant getal.
Bij de drie voorbeelden hierboven horen de formules:  S = 1200/k  en  R = a/O  en   t = 40/s
       
Laten we dat voorbeeld met die weerstand als rekenvoorbeeld gebruiken.
De elektrische weerstand (R) van een stroomdraad is omgekeerd evenredig met de oppervlakte van de doorsnede  (O) van die draad. Bij een doorsneden van  4 mm2 hoort een weerstand van 20 Ω  (dat laatste rare tekentje is de eenheid van weerstand en die spreek je uit als "Ohm").
Hoe groot is de weerstand bij een doorsneden van 2,8 mm2 ?
De formule is  R = a/O  en dat geeft  20 = a/4  dus  a = 80 dus de formule is  R = 80/O
O = 2,8  geeft dan   R = 80/2,8  = 28,57 Ω

Hieronder zie je beide verbanden nog eens met de bijbehorende grafiek.
       

       
Evenredig met iets anders dan x
       
Natuurlijk kan y ook best evenredig zijn met iets anders dan alleen met x.
Dat verandert niet veel aan de zaak.
Kijk maar naar de volgende twee voorbeeldjes.
       
Voorbeeld.
P is evenredig met n3
Bij n = 4 hoort P = 120
Wat hoort bij  n = 7?

Oplossing:
P evenredig met n3 betekent dat  P = a · n3
(4, 120)  geeft dan   120 = a · 43   en dat geeft   a = 1,875
P= 1,875 · n3   geeft  bij n = 7  dat  P = 1,875 · 73 = 643,125
       
Voorbeeld.
Z is omgekeerd evenredig met  Öp
Bij p = 3 hoort  Z = 18
Bij welke p hoort  Z = 0,5?

Oplossing:
Z is omgekeerd evenredig met  Öp  betekent dat  Z = a/Öp  
(3, 18) geeft dan   18 = a/Ö3   en dat levert   a = 18 · Ö3 = 31,18
0,5 = 31,18/Öp
Öp = 31,18/0,5 = 62,36
p = 62,362 = 3888
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Maak een formule bij de volgende problemen:
       
  a. Een auto rijdt 1 op 15. Dat wil zeggen dat hij met 1 liter benzine 15 kilometer kan rijden.
1 liter benzine kost op dit moment €1,20.
Maak een formule voor het bedrag (B) dat je aan benzine kwijt bent bij een afstand van a kilometer
       
  b. Als je een gewicht aan een veer hangt, dan rekt hij uit. Hoe zwaarder het gewicht, des te verder rekt de veer uit.
De uitrekking is recht evenredig met het gewicht.
Bij een gewicht van 20 kilogram rekt een bepaalde veer 4 cm uit
Geef een formule voor de uitrekking (U) van deze veer bij een belasting B.
       
  c. Wetenschappers hebben tussen 1990 en 2000 het aantal hazen in het oostelijke deel van Schiermonnikoog gemeten. Hazen doen het goed op Schiermonnikoog omdat er op het eiland niet veel natuurlijke vijanden van de haas wonen. Het aantal hazen in het zeshonderd hectare grote gebied schommelde gedurende de onderzoeksperiode tussen de 320 en 596. 
De leefruimte (L) per haas is de oppervlakte (in m2) die een haas gemiddeld tot zijn beschikking heeft.
Geef een formule voor de leefruimte per haas als functie van het aantal hazen (n) bij dit onderzoek.
       
2. Tussen twee variabelen A en B bestaat een verband. We weten dat bij A = 24  hoort  B = 7
We willen graag berekenen welke waarde van A hoort bij  B = 12.
       
  a. Bereken die waarde van A als A en B recht evenredig zijn
       
  b. Bereken die waarde van A als A en B omgekeerd evenredig zijn.
       
3. De bioloog Meeh ontdekte dat de huidoppervlakte (H)  van een mens (met H in dm2 ) omgekeerd evenredig is met GÖG  (waarbij G het gewicht in kg is).

Iemand van  80 kg heeft gemiddeld een huidoppervlak van 210 dm2  
Wat zal dan de gemiddelde huidoppervlakte van iemand van 60 kg zijn?
       
4. De "4 mijl van Groningen" is een jaarlijks terugkerend evenement waarbij duizenden deelnemers een afstand van 4 mijl (6437 meter) hardlopen. Chris is één van deze lopers. Hij heeft de 4 mijl in 2006 gelopen in 28 minuten en 15 seconden en in 2007 deed hij er 27 minuten en 50 seconden over.
Hij berekent dat zijn gemiddelde snelheid in die twee jaren gelijk was aan 13,67 en 13,88 km/uur.
       
  a. Controleer die berekeningen.

     
  Hiernaast staat een grafiek met voor elke gelopen tijd (in minuten) de bijbehorende snelheid (in km/uur).
     
  b. Geef een formule voor die grafiek en bereken daarmee welke tijd Chris moet lopen om een gemiddelde van 15 km/uur te halen.
       
  Chris is steeds meer en meer lange-afstandslopen gaan doen. Voor zijn trainingen heeft hij voor een aantal afstanden een grafiek als hierboven gemaakt. Die grafieken zie je in de figuur hiernaast. 

     
  c. Geef voor elk van die grafieken een formule en leg uit bij welke gelopen afstand de betreffende grafiek hoort.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)