faculteit


Faculteit-Formules.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We kwamen "faculteit" al heel even eerder tegen toen we het hadden over faculteitsbomen.
Wat was faculteit ook alweer?

n! = n • (n - 1) • (n - 2) • ... • 1

Zo was bijvoorbeeld 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24 en 10! = 10 • 9 • 8 • ... • 1 = 3628800.
Merk nog even op dat we meestal n! schrijven en niet x! omdat het met n in de wiskunde duidelijker is dat het gaat om een geheel getal (n = nummer).

Maar goed, daarna ging het in deze lessen al snel over permutaties en combinaties en zo, en we kwamen dat faculteitsgedoe eigenlijk nergens meer tegen.

Permutaties.

Kijk, bij permutaties moest je bijvoorbeeld 9 verschillende boeken verloten onder 20 mensen, en als ieder hoogstens één boek kon krijgen, dan kon dat op 20 • 19 • 18 • 17 • 16 • 15 • 14 • 13 • 12 manieren.
Dat lijkt wel een beetje op faculteit, maar is het net niet, omdat er niet doorgegaan wordt tot 1. Het stopt bij 12.
Toch zijn er nu best faculteiten te gebruiken. Laten we er gewoon zelf faculteit van maken:

Dat rooie deel heb ik er gewoon bijgezet, dat mag best want het valt toch boven en onder de streep tegen elkaar weg.
Maar nou staat daar in de teller wél een echte faculteit, en in de noemer ook!!!

En zo hebben we een manier gevonden om de permutaties van k uit n uit te drukken in een formule met faculteiten. Zijn we tenminste niet meer afhankelijk van die stomme nPr-knop van de rekenmachine. Doe het verhaal hierboven maar met n in plaats van 20 en k in plaats van 9 en je krijgt (die 11 wordt dan natuurlijk n - k):

Combinaties.

Combinaties waren eigenlijk permutaties waarbij de volgorde niet van belang was. Groepjes in plaats van rijtjes, weet je nog?
Neem het voorbeeld hierboven van dat verloten van 9 boeken. Stel dat de boeken nu niet verschillend zijn, maar allemaal het zelfde. Als je hierboven een rijtje van 9 mensen hebt gekozen (met permutaties), dan zijn er 9! = 362880 zulke rijtjes te maken met diezelfde 9 mensen. Maar al die 362880 mogelijkheden zijn natuurlijk gelijk als de boeken niet van elkaar verschillen, immers het zijn elke keer gewoon diezelfde 9 mensen die met een boek in hun hand staan.
Daarom vind je het aantal combinaties door het aantal hierboven gevonden rijtjes te delen door 9! want zo vaak is elke meegeteld.
Ofwel: de combinaties van k uit n vind je door de permutaties te delen door k!
Dat geeft de volgende formule:

Rekenen met faculteiten.

Nou we bezig zijn met formules met faculteiten is het misschien welk handig om even wat te oefenen met berekeningen met faculteiten.
De meeste berekeningen komen neer op het volgende eenvoudige voorbeeld:
6! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 6 • (5 • 4 • 3 • 2 • 1) = 6 • 5!
In letters: n! = n • (n - 1)!

n! = n • (n - 1)!

Omdat we graag willen dat bovenstaand regeltje ook geldt voor n = 1, en ook omdat we graag willen dat de formule met faculteiten, die we voor nCr vonden, geldig blijft als k = n en als k = 0, spreken we met elkaar af dat geldt: 0! = 1

Het regeltje hierboven toepassen geeft:

OPGAVEN

Bij het rekenen met combinaties ontdekten we al dat het aantal manieren om 14 dingen uit de 20 te kiezen gelijk was aan het aantal manieren om 6 dingen uit de 20 te kiezen.
En 5 uit de 12 kiezen kan op evenveel manieren als 7 uit de 12.
Nu kunnen we dat ook met de formule voor combinaties aantonen.

Ik verloot 8 dezelfde boeken onder een groep mensen waarbij iedereen hoogstens één boek krijgt, en ik bereken uiteraard meteen op hoeveel manieren dat kan.
Maar ik merk dat, als er één persoon bij zou komen, het aantal manieren dan 50% zou toenemen.

Bereken hoe groot de groep mensen in het begin is.

n = 23