De formule van een parabool.....

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

HET PROBLEEM:

De  OPLOSSINGEN:
Oplossing 1:  Met de TOP
Die oplossing zie je het handigst door het omgekeerde probleem te bekijken:  Neem de formule van een parabool en probeer de top te vinden.
Laten we als voorbeeld de parabool  y = 3 • (x - 4)2 + 5  bekijken.
Dat is een dalparabool want als je de haakjes wegwerkt staat bij het kwadraat een plusteken.
De top betekent bij een dalparabool  dat y minimaal is. En dat is als volgt te beredeneren:
VRAAG ANTWOORD
Wanneer is  3 • (x - 4)2 + 5 minimaal? Dat is als  3 • (x - 4)2  minimaal is.
Wanneer is 3 • (x - 4)2  minimaal? Dat is als  (x - 4)2  minimaal is.
Wat is (x - 4)2 minimaal? Het is een kwadraat, dus is minimaal nul.
Wanneer is (x - 4)2 gelijk aan nul? Als x = 4.
Hoe groot is dat minimum? Vul x = 4 in, en je krijgt  y = 5

En met  y = a • (x - b)2 + c  gaat het hele verhaal precies hetzelfde en vinden we als top het punt  (b, c).
(En ook bij bergparabolen gaat de redenering bijna hetzelfde).
Laten we deze conclusie nu omdraaien

Van een parabool met top (b, c) is de formule  y = a • (x - b)2 + c
 

AHA!  Dus als de top  (3,6) is, is de formule  y = a • (x - 3)2 + 6 
En als de top  (-3, 9) is, is de formule  y = a  • (x + 3)2 + 9
En als de top  (-2, -6) is, is de formule y = a • (x + 2)2 - 6

Laatste vraag:  Hoe vinden we a ?

Dat is gelukkig erg eenvoudig:    

      VUL GEWOON EEN ANDER PUNT IN.

Neem als voorbeeld de parabool hiernaast.
De top is het punt (2,4) dus de formule wordt  y = a • (x - 2)2 + 4
De parabool gaat verder nog door bijv. het punt (3,1)

x = 3 en y = 1 invullen geeft:  1 = a • (3 - 2)2 + 4
Dus  1 = a + 4  en dus geldt a = -3
De formule is kennelijk  y = -3 • (x - 2)2 + 4

1. Geef  formules van de volgende parabolen. De schaalverdeling is steeds 1 eenheid per hokje.
 

 

-2(x - 1)2 + 3
1/2(x - 3)2 - 4
(x + 2)2 - 5
4(x - 1)2 - 5
-4(x + 6)2 + 1
-0,2(x - 3)2 - 4
Oplossing 2:   Met de Nulpunten.
Deze oplossing is erg snel, maar werkt alleen bij parabolen die snijpunten met de x-as hebben. De x-waarde van zo'n snijpunt met de x-as heet een nulpunt.
De formule van een parabool die nulpunten  x = p  en x = q heeft kun je schrijven als  y = a • (x - p) • (x - q)
Waarom kan dat?
Als je de haakjes wegwerkt zie je dat er inderdaad een formule met x2 tevoorschijn komt, dus het is een parabool.
Als je x = p of x = q invult komt er inderdaad nul uit, dus hij gaat inderdaad bij x = p en x = q door de x-as.

Laatste vraag:  Hoe vinden we a ?
Nou op precies dezelfde manier als bij oplossing 1:  gewoon een ander  punt invullen.

Neem als voorbeeld de parabool hiernaast.
Die gaat  door de x-as bij x = 2 en x = -4
De formule zal dus zijn y = a • (x + 4)(x - 2)
Een ander punt is bijv.  (-2, 4)
x = -2 en y = 4 invullen geeft:  4 = a • (-2 + 4)(-2 - 2)
⇒  4 = a • -8
⇒  a = -1/2

De gezochte formule is  y = -1/2 • (x + 4)(x - 2)  

2. Geef formules van de volgende parabolen.  De schaalverdeling is steeds 1 eenheid per hokje.

 

-2(x + 2)(x - 3)
-0,4(x + 4)(x- 3)
0,2(x- 1)(x - 5)
1,5(x + 2)(x + 3)
(x + 5)(x- 2)
-4(x + 1)(x - 1)
   
3. Iemand heeft een spectaculaire circusact ingestudeerd. Zij duikt van een duikplank via een prachtige paraboolbaan (die dezelfde vorm heeft als de parabool y = -0,2x2) in een badje met water.
Het hoogste punt van haar baan bevindt zich 12,8 meter boven de grond.
Het badje staat horizontaal 12 meter vanaf het punt waar de springster springt.
   
 

   
  Bereken de hoogte h van de toren.
 

9,6 meter
4. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-II
   
  De functie f is gegeven door:    f (x) = x2 − 6x .
De grafiek van f snijdt de x-as in de oorsprong en in het punt A.
De grafiek van de functie g raakt de x-as in A en gaat door de top T van de grafiek van f. Zie de figuur.
   
 

  g heeft een functievoorschrift van de vorm g(x) = ax2 + bx + c .
Bereken exact a, b en c.
   
5. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2019-II
   
  Het Viaduc de Garabit is een spoorbrug die tussen 1880 en 1884 over de rivier de Truyère in Frankrijk is gebouwd. Zie de foto.
   
 

   
  De onderste boog is bij benadering een deel van een parabool.
We plaatsen de parabool in een assenstelsel, zodanig dat het beginpunt van de boog zich in de oorsprong bevindt. Zie de figuur.
Verder is de afstand tussen beginpunt en eindpunt van de boog 165,00 m en bevindt de top van de onderste boog zich 51,858 m boven de x-as.
   
 

   
  De parabool is te beschrijven met een formule van de vorm    y = ax2 + bx .
Bereken algebraïsch de waarden van a en b. Geef je eindantwoord in vier decimalen.
   
 
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)