Verschillende formules vergelijken

In de wiskunde proberen we vaak om verschijnselen uit het dagelijks leven zo goed mogelijk te beschrijven. Dat doen we door een formule op te stellen die zo goed mogelijk past bij de gegevens die we hebben. Zo'n formule noemen we een model. Er zijn vaak meerdere modellen mogelijk die bij een bepaalde situatie passen.
Stel dat we gemeten hebben dat een bepaalde hoeveelheid (lekker vaag!) in de loop van de tijd (lekker vaag!) toeneemt.
Dan kan dat volgens verschillend modellen gebeuren:

En dit is nog maar een kleine greep uit de talloze mogelijkheden.

Een model met één parameter

Nou daar valt niet veel aan te beleven.
Je vult gewoon één meetwaarde (x en y) in en dan rolt die parameter er vanzelf uit.

Voorbeeld: Stel een formule van de vorm y = g^x op die hoort bij het punt (3, 12)
oplossing:
12 = g³ geeft g = 12^1/3 = 2,3

De beroemdste twee zijn het recht-evenredige en het omgekeerd-evenredige verband:

recht-evenredig verband:	y = ax
omgekeerd-evenredig verband:	y = ^a/_x

Voorbeeld: Stel een omgekeerd evenredig verband op dat hoort bij het punt (4, 10)
oplossing:
y = ^a/_x geeft 10 = ^a/₄ dus a = 40 en het verband is y = ⁴⁰/_x

Voorbeeld: y is recht-evenredig met x^1,5 . Bij x = 6 hoort y = 20, welke y hoort bij x = 8?
oplossing:
y = a · x^1,5 geeft 20 = a · 8^1,5 dus a = 0,88.
y = 0,88 · x^1,5 levert dan bij x = 8 dat y = 0,88 · 8^1,5 = 9,8.

Een model met twee parameters

Dat wordt al interessanter.
Het levert bij invullen van twee punten een stelsel van twee vergelijkingen op.
Hopelijk kun je dat stelsel dan oplossen.

Van de meest voorkomende modellen zullen we een voorbeeldje bekijken.

Voorbeeld: Stel een lineair model op dat hoort bij (2, 12) en (7, 52)
Oplossing:
y = ax + b geeft 12 = 2a + b en 52 = 7a + b
De eerste geeft b = 12 - 2a en die kun je invullen in de tweede.
52 = 7a + 12 - 2a geeft dan a = 8
Dan is b = -4 en het verband is y = 8x - 4

Voorbeeld: Stel een exponentieel verband op dat hoort bij (2, 40) en (5, 10)
Oplossing:
y = B · g^x geeft 40 = B · g² en 10 = B · g⁵
De eerste geeft B = ⁴⁰/_g_² en die kun je invullen in de tweede:
10 = (⁴⁰/_g_²) · g⁵ geeft 10 = 40g³ dus g³ = 0,25 dus g = 0,25^1/3 = 0,63
Dan is B = ⁴⁰/_0,53_² = 100,8
Het verband is y = 100,8 · 0,63^x

Voorbeeld: Stel een machtsverband op dat hoort bij (3, 10) en (6, 18)
Oplossing:
y = a · x^b geeft 10 = a · 3^ben 18 = a · 6^b
De eerste geeft a = ¹⁰/₃b en die kun je invullen in de tweede:
18 = (¹⁰/₃b) · 6^b geeft 18 = 10 · 2^b dus b = 0,85 (met de GR: intersect)
Dan is a = ¹⁰/₃^0,85 = 3,9
Het verband is y = 3,9 · x^0,85

Voorbeeld: Stel een verband op van de vorm y = aÖ(x + b)
dat hoort bij (5, 2) en (10, 8)
Oplossing:
invullen geeft 2 = aÖ(5 + b) en 8 = aÖ(10 + b)
De eerste geeft a = ²/_Ö_{(5
+ b)} en die kun je invullen in de tweede;
8 = ²/_Ö_{(5
+ b)} · Ö(10 + b)
8Ö(5 + b) = 2Ö(10 + b)
kwadrateren: 64(5 + b) = 4(10 + b) en dat geeft b = -4,66
Dan is a = 3,46
Het verband is y = 2,46Ö(x - 4,66)

Voorbeeld: Stel een verband op van de vorm y = a + ^b/_x
dat hoort bij (4, 10) en (12, 2)
Oplossing:
Invullen geeft 10 = a + ^b/₄ en 2 = a + ^b/₁₂
De eerste geeft a = 10 - ^b/₄ en die kun je invullen in de tweede:
2 = 10 - ^b/₄ + ^b/₁₂
Dat geeft -8 = -¹/₄· b + ¹/₁₂· b dus -8 = -²/₁₂ · b dus b = 48
Dan is a = 10 - 12 = -2
Het verband is y = -2 + ⁴⁸/_x

OPGAVEN.

Een van de belangrijkste eigenschappen van een junior tennisracket is de lengte. Het ideale junior tennisracket staat in direct verband met de lichaamslengte van het kind.

Voor een kind van 95 cm lengte heeft het ideale racket lengte 46 cm en voor een kind van 150 cm is dat 96 cm.

Er is een verband tussen de lichaamslengte L in cm en de geadviseerde racketlengte R in cm.

Dit verband is te benaderen met een formule van de vorm
R = a • Lⁿ.
Met de bovenstaande gegevens bij lichaamslengtes 95 cm en 150 cm zijn de waarden van a en n te bepalen.

Bereken volgens deze formule de geadviseerde racketlengte in cm bij een lichaamslengte van 110 cm. Geef je eindantwoord in hele cm.

Dit verband is ook te benaderen met een formule van de vorm R = a • g^L. Met de bovenstaande gegevens bij lichaamslengtes 95 cm en 150 cm zijn de waarden van a en g te bepalen.

Bereken volgens deze formule de geadviseerde racketlengte in cm bij een lichaamslengtelengte van 110 cm. Geef je eindantwoord in hele cm.

NOS Nieuws •dinsdag 17 april 2018, 08:46

Kinderen zijn in vijf jaar aanzienlijk minder buiten gaan spelen
Het aantal kinderen dat elke dag buiten speelt is in vijf jaar drastisch gedaald, blijkt uit onderzoek van Kantar Public in opdracht van Jantje Beton. Sinds 2013 is het aantal kinderen dat iedere dag buiten speelt gedaald van 20 procent naar 14 procent.
Als deze trend zich doorzet, verwachten wij dat over niet al te lange tijd nog maar 1% van de kinderen iedere dag buiten speelt.

Het is niet helemaal duidelijk welk model de schrijvers van dit artikel met "deze trend" bedoelen.
Dat zou bijvoorbeeld kunnen zijn:

een trend waarbij het percentage kinderen dat elke dag buiten speelt lineair daalt;

II.

een trend waarbij het percentage kinderen dat elke dag buiten speelt exponentieel daalt;

Bereken hoeveel procent van de kinderen in 2025 volgens model I en hoeveel procent volgens model 2 nog elke dag buiten speelt.

Voor het beschrijven van de situatie op de lange duur is model I op grond van wiskundige overwegingen niet bruikbaar maar model II misschien wel.

Leg uit waarom model I op de lange duur zeker niet realistisch kan zijn, maar model II misschien wel.

Stel een formule van de vorm y = ^a/_{(x + b)} op waarvan de grafiek door (25, 10) en (55, 4) gaat.

Stel een formule van de vorm y = ax³ + bx² op waarvan de grafiek door (3, 117) en (8, 2752) gaat.

Twee biologen onderzoeken of er een verband is tussen het hersengewicht (H in gram) van een diersoort en het lichaamsgewicht (L in kg).
De eerste bioloog denkt dat er een machtsverband is, en de tweede denkt dat er een exponentieel verband is.
Het gemiddelde hersengewicht van een volwassen kat is ongeveer 25 gram, en het lichaamsgewicht ongeveer 5 kg.
Het gemiddelde hersengewicht van een geit is ongeveer 220 gram en het lichaamsgewicht 75 kg.

Stel voor beide biologen aan de hand van deze twee gegevens een formule op voor het hersengewicht als functie van het lichaamsgewicht (beiden in kg).

Sommige diersoorten hebben een hoger hersengewicht dan ze volgens de theorie op grond van hun lichaamsgewicht zouden moeten hebben. Het Encefalisatie-quotiënt (EQ) is de verhouding tussen het werkelijke hersengewicht en het hersengewicht volgens de theorie.
Een EQ van 1 is dus "normaal".
Beide biologen denken dat hun gevonden verband het normale hersengewicht goed beschrijft
Men neemt aan dat het EQ een maat is voor de intelligentie van een diersoort.
Het gemiddelde hersengewicht van een volwassen chimpansee is 480 gram en het lichaamsgewicht 60 kg.

Bereken volgens beide modellen het EQ van een chimpansee.