|
EEN FOTO VAN EEN TOREN MAKEN.
Je wilt graag van grote afstand een foto maken van de Martinitoren,
bijvoorbeeld om de skyline van Groningen vast te leggen. Helaas staan er voor de
stad altijd andere dingen in de weg. Bomen, huizen, noem maar op.
Op welke
afstand vanaf Groningen kun je nu het best een foto maken? (Zodat de
Martinitoren er zo duidelijk mogelijk op staat).
De situatie is als hieronder geschetst:
Als je de toren zo duidelijk mogelijk in beeld wilt hebben moet je
ervoor zorgen dat hoek a zo groot mogelijk is.
Welnu, er geldt: tan (α +
β) = H/x dus
α +
β = arctan
(H/x)
tan
β = h/(x - d) dus
β =
arctan(h/(x - d))
conclusie:
Om de maximale a te vinden
moeten we differentiëren en nul stellen:
Daaruit volgt:
⇒ H • {(x - d)2
+ h2} = h • (x2 + H2)
⇒ H • {x2 - 2dx
+ d2 + h2) = hx2 + hH2
⇒ x2 • (H - h)
+ x • (-2dH) + (Hd2 + Hh2 -
hH2) = 0
En dit is een kwadratische vergelijking in x.
Die is makkelijk op te lossen als H, h, en d bekend zijn
| |
|
|
|
|
|
| 1. |
Je wilt een boom van 8 meter hoog fotograferen, maar op afstand
10 meter ervoor staat een schutting van 2 meter hoog. Waar moet je gaan staan?
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| 2. |
De Martinitoren is 97 meter hoog.
Als je naar Groningen rijdt en je wilt de skyline zien, dan
belemmeren huizen en bomen voor Groningen je het zicht. De
verste huizen (een meter of 8 hoog) vanaf de Martinitoren staan
ongeveer 10 km er vanaf (de straal van de stad Groningen). Op
welke afstand zie je de skyline het duidelijkst? |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
 |
|
| Dezelfde Vraag |
|
|
Hetzelfde principe komen we tegen bij de
vraag uit 1471 van Regiomontanus: Hoe ver vóór een standbeeld moet je staan om het beeld zo goed
mogelijk te zien?
Het blijkt dat de optimale afstand die is waarvoor de
cirkel die het (midden van het) standbeeld raakt ook de horizontale lijn
door de ogen van de toeschouwer moet raken. Zie de figuur hiernaast.
En ook dezelfde vraag komen we tegen als het gaat om de plaats
waar een rugbyspeler het best zijn trap bij de conversie kan nemen. Hij
moet dan immers het doel onder een zo groot mogelijke hoek "zien". |
 |
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
