horizontaal lijnstuk


f (x) = p.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Omdat f(x) natuurlijk gewoon het zelfde is als y (namelijk wat er uitkomt als je x in de gegeven formule invult) betekent
f(x) = p eigenlijk dus gewoon
y = p, waarbij p één of ander constant getal is.

Met de grafiek.

Maar als je dat in "grafiektaal" wilt vertalen, dan stelt y gewoon de hoogte van de grafiek voor, dus staat er eigenlijk dat de hoogte van de grafiek gelijk moet zijn aan p.

f (x) = p ⇔ bij welke x is de hoogte van de grafiek gelijk aan p ???

Het antwoord op zo'n vraag is dan ook gemakkelijk te vinden: teken gewoon een horizontale lijn op hoogte p en kijk waar (bij welke x-waarden) die de grafiek snijdt.
Hieronder zie je een aantal grafische oplossingen:

Je ziet hierboven direct al dat het aantal oplossingen van de vergelijking f(x) = p nogal afhangt van p. In deze voorbeelden varieerde het aantal oplossingen van 0 tot 3, maar het zouden er bij andere grafieken natuurlijk gemakkelijk nog veel meer dan 3 kunnen zijn.

Kijk eens naar die grafiek helemaal hier rechtsboven...... Het is de grafiek van y = x³ - 3x² + 2x + 1.
Stel dat de vraag zou zijn: "Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p precies twee oplossingen?"

Hiernaast zie je wat er in het rechterplaatje voor verschillende waarden van p gebeurt. De groene lijnen geven 1 snijpunt (dus 1 oplossing), de rode lijnen geven 2 snijpunten (2 oplossingen) en de blauwe lijnen geven 3 snijpunten (3 oplossingen).

De vraag: "Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p precies twee oplossingen?" is dus precies dezelfde vraag als: "Waar zitten de rode lijnen?"

En aan de figuur zie je dan weer dat dat ook dezelfde vraag is als: "Waar zitten de maxima en minima van de grafiek?"

Nou, die laatste vraag heb je al veel vaker beantwoord natuurlijk. Los het op met je rekenmachine (calc - maximum/minimum) of als je dat kunt algebraïsch met de afgeleide (f ' = 0). Denk er daarbij wel om dat de waarde van p gelijk is aan de y-waarde van het gevonden maximum/minimum.

In het bovenstaande geval geeft dat trouwens de oplossingen p ≈ 1,38
en p ≈ 0,62. Dat zijn dus die rode p's in de figuur hiernaast.

OPGAVEN

Gegeven is de functie f(x) = x³ - 6x + 8
Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p drie oplossingen?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

2,34 < p < 13,66

Gegeven is de functie f(x) = 2x + 6 + ¹/_x
Voor welke p heeft de vergelijking f(x) = p twee oplossingen?
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

p > 8,83
p < 3,17

Gegeven is de functie f(x) = ^(x^{²
- 8)}/_{(4x + 4)}

De lijn y = p snijdt de grafiek van f in de punten A en B.
Bereken p als AB = 8

1 en -2

examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2016-II

De functie f is gegeven door:

De grafiek van f snijdt de x-as in drie punten. Zie de figuur.

Bereken de x-coördinaten van de drie snijpunten van de grafiek van f met de x-as.

0, -2, -1

Verder is gegeven de horizontale lijn l met vergelijking y = p . De grafiek van f snijdt l in drie punten.

Bereken voor welke waarden van p dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord af op drie decimalen.

-0,727 < p < 0,727