Gebroken Combinaties: de Γ-functie.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Het berekenen van combinaties (nCr) deden we tot nu toe alleen met gehele positieve getallen.

Inderdaad....je leest het goed.....tot nu toe!!

Een erg interessante vraag, die we deze les zullen behandelen, is namelijk:  "Kun je ook combinaties berekenen met breuken?".
Daarvoor moet je eerst bedenken hoe die nCr ook al weer was gedefinieerd:
       

       
Uit deze formule blijkt wel dat, als je graag breuken wilt gebruiken, je zult moeten weten hoeveel n! is als n geen geheel getal is.

Nou is er een integraal die nogal veel te maken heeft met n!, en dat is de volgende:
       

       
Wat daar zo speciaal aan is zie je als je partieel gaat primitiveren:
       

Daar staat eigenlijk  f(n) = (n - 1) • f(n - 1) want die integraal daar helemaal rechts is dezelfde als de oorspronkelijke, alleen met n vervangen door n - 1.

Maar dan is  f(n - 1) = (n - 2) • f(n - 2)  en  ook  f(n - 2) = (n - 3) • f(n - 3) enzovoorts. Helemaal tot aan f(1) = 1
Dat geeft samen:    f(n) = (n - 1) • (n - 2) • (n - 3) • .... • 1  en dat is gelijk aan  (n - 1)!  
       

       
Maar het mooie is dat die linkerkant niet alleen voor gehele n-waarden bestaat. In zo'n integraal mag n ook best een breuk zijn. Als je dat doet, dan heet die integraal aan de linkerkant de gammafunctie Γ(t) en voor gehele waarden van t is die gelijk aan  (t - 1)! Hij bestaat echter ook als t een breuk is, of een wortel of zoiets.
Verder heeft deze functie de eigenschap dat  Γ(t + 1) = t • Γ(t)
Hieronder zie je de grafiek van Γ(t)
       

       
Je ziet dat de functie niet bestaat voor de negatieve gehele getallen en voor 0. Dat betekent voor faculteiten dat n! niet bestaat voor negatieve gehele getallen.
       
Hoe groot is Γ(t) als t een breuk is?
       
Dat is in het algemeen moeilijk algebraïsch te berekenen.
Met mijn GR vind ik makkelijk  Γ(11/2) = 1/2! ≈ 1,3293   en  Γ(12/3) = 2/3! ≈ 1,5046  en  Γ(11/4) = 1/4! ≈ 1,1330.  gewoon door Y1 = xn - 1 • e-x  in te voeren en dan calc - integraal te nemen voor x tussen 0 en een groot getal.

Eigenlijk is alleen Γ(1/2) wel algebraïsch te berekenen, en zelfs dat is een erg moeilijke klus.

Bij de woorden "erg moeilijke klus" veer jij als echte wiskundeliefhebber natuurlijk meteen op!

We stropen onze mouwen op en gaan aan de slag.....

De eerste stap in onze ontdekkingstocht naar Γ(1/2) is een substitutie. Substitueer in de formule voor Γ(1/2) de nieuwe variabele  x = u2  dus  dx = 2udu en je krijgt  (merk nog even op dat de grenzen 0 en ∞  blijven):
 

       
Nee maar! Er staat nu al een mooi resultaat!!
Die integraal daar aan de rechterkant heet ook wel de Gauss-Integraal (alleen dan van -∞  tot ∞, zodat de factor 2 weg kan). Het is de integraal die aan de basis ligt van de normale verdeling!

In de les over de Gauss-Integraal wordt bewezen dat geldt:
       

       
Als je het bewijs van deze mooie eigenschap wilt zien, dan moet je beslist die les lezen (maar het is niet een erg makkelijke les, ik waarschuw je maar alvast).
Nou we eenmaal  Γ(1/2) kennen, kunnen we met de regel Γ(t + 1) = t • Γ(t)  alle andere faculteiten met halven berekenen:

-1/2! = Γ(1/2) = √π
  1/2! =  Γ(11/2) = 1/2 • Γ(1/2)    = 1/2√π
11/2! = Γ(21/2) = 11/2 • Γ(11/2) = 3/4√π
enz.

en natuurlijk ook de andere kant op:
Γ(1/2) = -1/2 • Γ(-1/2)  ⇒  Γ(-1/2) = -2Γ(1/2) = -2√π  ⇒  -11/2! = -2√π
Γ(-1/2) = -11/2 • Γ(-11/2)  ⇒  Γ(-11/2) = -2/3Γ(-1/2) = -2/3 •  -2√π = 4/3√π  ⇒  -21/2! =  4/3√π
enz.
       
De combinaties zijn nu een makkie!
       
Met de net gevonden regels zul je de volgende voorbeeldjes hopelijk kunnen volgen (de afgeronde waarden van het tweede voorbeeld zijn met een integraal op de GR benaderd).
       

       

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)