Gemengde opgaven

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
       
1. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2000

Op een pagina op Internet staat te lezen dat ons leven beheerst wordt door en drietal toestanden, namelijk door onze fysieke, onze emotionele en onze intellectuele toestand. Op de ene dag voel je je fysiek (lichamelijk) beter dan op een andere dag. Deze 'fysieke' toestand kunnen we weergeven op een schaal van -50 (fysiek op dieptepunt) tot +50 (fysiek opperbest). Deze fysieke toestand varieert in de tijd volgens een sinusoïde.
Ook de emotionele toestand en de intellectuele toestand variëren op een schaal van -50 tot +50 volgens een sinusoïde. Zie figuur 1.
       
 

       
  Bij de geboorte van een mens zou elke cyclus zich in dezelfde begintoestand bevinden, zoals is weergegeven in figuur 1.
Tezamen bepalen de drie cycli het zogenaamde bioritme van de mens. Sommigen beweren dat het bioritme volledig vastlegt tot welke prestaties een mens op een bepaald moment in staat is. Zo zou je bijvoorbeeld kunnen uitrekenen op welke dag je het best kunt solliciteren. Voor de fysieke cyclus is de periode 23 dagen, voor de emotionele cyclus 28 dagen en voor de intellectuele cyclus is de periode 33 dagen.
Het bioritme in figuur 1 betreft een pasgeboren baby. E is de emotionele toestand van de baby, t dagen na de geboorte. Hierbij hoort de formule van de vorm  E = a sin bt
       
  a. Geef de waarden van a en b.  
       
  Zodra de emotionele toestand beneden -25 komt zou het moeilijker worden om de emoties onder controle te houden.
       
  b. Hoeveel procent van een periode heeft de emotionele toestand een waarde die kleiner is dan -25? Licht je antwoord toe.
       
  F is de fysieke toestand van de baby.
       
  c. Onderzoek of F op de eerste verjaardag een dalend of een stijgend verloop heeft.
       
  Annelies is op 1 januari 1983 geboren. Op 1 januari 2001 wordt ze dus 18 jaar. Vanaf die dag mag ze rijexamen doen. Ze wil dat doen op een dag waarop zowel haar fysieke als haar intellectuele toestand positief is.
(de jaren 1984, 1988, 1996 en 2000 hebben een dag extra, dus 366 dagen)
       
  d. Onderzoek welke de eerste drie dagen van januari 2001 zijn die voor het rijexamen in aanmerking komen.
       
2. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2000

Het verloop van de temperatuur kan gedurende de 24 uren van de dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door een sinusoïde met een periode van 24 uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende waarden: de maximumtemperatuur is 21,0 ºC, deze wordt bereikt om 3 uur 's middags; de minimumtemperatuur is 12,2 ºC.
T is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en u het aantal uren na middernacht.
       
  a. Stel een formule op van het verband tussen T en u.
       
  Voor een dag in april geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen T en u:
   
 

       
  b. Bereken hoe lang het volgens deze formule op een dag in april warmer is dan 10 ºC. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
       
  Op een bepaald moment op de dag is de temperatuurstijging het sterkst.
       
  c. Hoe groot is volgens de bovenstaande formule die sterkste stijging van de temperatuur? Geef je antwoord in ºC per minuut. Licht je antwoord toe.
       
3. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2005
       
  Golfplaat is een bouwmateriaal dat gebruikt wordt voor het afdekken van eenvoudige bouwwerken. In de figuur hiernaast zie je een rechthoekig stuk golfplaat.

In de figuur hieronder is het vooraanzicht van dit stuk golfplaat in een assenstelsel getekend. Hierbij is de dikte verwaarloosd.
In het assenstelsel zijn x en y uitgedrukt in cm.

Bij deze grafiek hoort de formule:  y = 3 + 3sin(0,469x)
       
 

       
  De golfplaat hierboven wordt als afdakje gebruikt. De plaat wordt horizontaal neergelegd en steunt aan de randen  PQ en RS op een muur.
De ruimtes tussen de bovenrand van de muur en de golfplaat worden afgedicht met houten blokjes. Deze blokjes zijn 3,8 cm hoog en hebben een zo groot mogelijke breedte. In de figuur hiernaast is dit geschetst.

     
  a. Bereken de breedte van zo'n blokje. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.
   

55 mm
  Het bovenaanzicht van het stuk golfplaat hierboven is een rechthoek PQRS. PQ = 67 cm en RS = 55 cm.
Dit stuk golfplaat wordt diagonaal doorgezaagd. In het bovenaanzicht is de zaagsnede een rechte lijn van S naar Q. De werkelijke vorm van de doorsnede is een sinusoïde.
       
  b. Stel een formule op van deze sinusoïde als deze op ware grootte in een assenstelsel zoals in de grafiek hierboven wordt weergegeven
     

3 + 3sin 0,362x 
       
4. 1910 was een belangrijk jaar in de astronomiewereld omdat de komeet van Halley het punt in zijn baan bereikte dat het dichtst bij de zon ligt, en dus goed te zien was. In 1986 bleek er voor het eerst daarna wéér zo'n moment te zijn.

De verschijning van de komeet van Halley is een periodiek verschijnsel. Neem aan dat de afstand van de komeet tot de zon sinusvormig varieert tussen 0,5 AE (dichtst bij) en 35 AE (verst af).
Daarbij is 1AE = 1 astronomische eenheid = afstand aarde-zon  (ongeveer 150 miljoen km).
     
  a. Geef een vergelijking voor de afstand van de komeet tot de zon. Neem t = 0 in 1900 en t in jaren.
       
  Neem voor de rest van deze opgave aan dat  A(t) = 18 + 17sin0,08(t - 65)
       
  b. In welk jaar na 1900 bevond de komeet zich voor het eerst op afstand  1500 miljoen kilometer van de zon?
     

1958 
  c. In welke jaren in de twintigste eeuw bewoog de komeet zich met een snelheid van 23000 km/uur  naar de zon toe?
       
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I
       
 

Op het domein [0, π] is de functie f gegeven door:

f (x) = 3sin(x) − 2sin2(x)

De grafiek van f snijdt de x-as in de punten (0, 0) en (π, 0) . Zie de figuur.
       
 

       
  De lijn met vergelijking y = 1 raakt de grafiek van f in het punt P(1/2π, 1).
Deze lijn heeft nog twee andere punten met de grafiek van f gemeenschappelijk.
       
  a. Bereken exact de afstand tussen deze twee andere punten.
     

2/3π 
  V is het gebied dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f.
Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  b. Bereken exact de oppervlakte van V.
     

6 - π 
 

Hieronder is opnieuw de grafiek van f getekend. Ook is de parabool door (0, 0) getekend die de grafiek is van een functie g die is gegeven door:

g(x) = ax2 + bx , waarbij a en b constanten zijn.

Deze constanten zijn zo gekozen dat:

-  het punt (π, 0) op de parabool ligt én
- de grafiek van f en de parabool in het punt (0, 0) dezelfde helling hebben én
- de grafiek van f en de parabool in het punt (π, 0) dezelfde helling hebben.
       
 

       
  c. Bereken exact de waarden van a en b.
     

-3/π en 3 
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2019-I
       
  Op het domein [0, 2π] is de functie f gegeven door:
 

       
  De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten P, Q, R en S. Zie de figuur.
       
 

       
  a. De afstand PS is a keer zo groot als de afstand QR.
Bereken de waarde van a
       
  Op hetzelfde domein  [0, 2π] is functie g gegeven door:
 

       
  De grafiek van g is ook een sinusoïde. Met andere woorden: g heeft een functievoorschrift van de vorm
g(x) = p + q • cos(r (x - s)).
       
  b. Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef deze waarden zo nodig in drie decimalen.
       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2019-I
       
  Aan de rand van het dorp Olst in Overijssel is in 2008 het kunstwerk 'Kantwerk' geplaatst van de Belgische kunstenaar Marc de Roover. Zie de foto.
       
 

       
 

Het kunstwerk stelt de golvende rivier de IJssel voor. De voorkant van het kunstwerk kan door een sinusoïde benaderd worden.

Op de website van de betreffende gemeente is te lezen dat er voor dit kunstwerk 3200 latten zijn gebruikt en dat het een lengte heeft van 100 meter. Telwerk leverde op dat iedere hele periode is opgebouwd uit 60 latten.
De uiteindes van de laagste en de hoogste latten liggen respectievelijk 17 cm en 70 cm boven het gras.
       
 

Annemarie en Floortje willen een paar mooie foto’s voor hun profielwerkstuk maken. Hiervoor willen ze een soort bankje creëren door een plank horizontaal in de golf neer te leggen. Zie de schets in de figuur.

Annemarie neemt hiervoor een plank met een lengte van één meter mee.
Floortje neemt een plank mee met een andere lengte. De zithoogte van het bankje van Floortje komt uit op 50 cm boven het gras

Onderzoek of Annemarie hoger of lager dan Floortje zit.
       
8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2021-III
       
  Er bestaan wiskundige modellen die het verband aangeven tussen aantallen prooidieren en roofdieren. Deze modellen worden prooi-roofdiermodellen genoemd.

Als er in een gebied veel prooidieren zijn, dan zal na verloop van tijd het aantal roofdieren in dat gebied sterk toenemen, omdat die zich voldoende kunnen voeden met de prooidieren. Door die toename van het aantal roofdieren zal het aantal prooidieren teruglopen. Hierdoor kunnen de roofdieren minder voedsel vinden en zullen zij in aantal afnemen. Als gevolg daarvan zal het aantal prooidieren weer toenemen. En daarmee begint deze cyclus weer opnieuw. In de volgende figuur wordt een model van zo'n  cyclus weergegeven.
       
 

       
  a. Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift voor r op waarmee je het aantal roofdieren r in deze figuur kunt berekenen als functie van de tijd t in jaren.
       
  In de rest van deze opgave gaan we uit van een ander prooi-roofdiermodel:
       
 
       
  Hierin is p het aantal prooidieren, r het aantal roofdieren en t de tijd in jaren. In onderstaande figuur zijn de grafieken van p en r geschetst.
       
 

       
  In elke periode is er één moment waarop de groeisnelheid van het aantal prooidieren maximaal is. In het bijbehorende punt op de grafiek is de helling dus maximaal.
       
  b. Bereken deze maximale groeisnelheid. Geef je eindantwoord in gehele honderdtallen prooidieren per jaar.
     

2700 
  Iemand zegt: “Op de momenten dat er 4300 prooidieren zijn, zijn er … roofdieren of … roofdieren.”
       
  c. Bereken welke twee getallen op de plaats van de puntjes moeten staan, zodat de uitspraak juist is. Geef deze getallen in gehele honderdtallen.
     

1200 en 3800 
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2021-I
       
  Op de Hasseltrotonde in Tilburg staat een huis. Eigenlijk is ‘staat’ niet het goede woord, want het huis beweegt: het draait in het rond. Het gevolg is dat elke keer dat je langs de rotonde rijdt, het huis op een andere plaats kan staan. Het is een kunstproject, ontworpen door John Körmeling. Zie de fotos.
       
 

       
  Het huis legt in 20 uur één ronde af, zodat je, als je de rotonde elke dag op hetzelfde tijdstip passeert, het huis geen twee opeenvolgende dagen op dezelfde plaats ziet.

Op een maandag staat het huis om acht uur ‘s morgens (08.00 uur) precies aan de oostkant van de rotonde. Voor het vervolg van de opgave is dit t = 0 . In onderstaande figuur is een overzicht van de situatie te zien. Het huis is in de figuur weergegeven als vierkantje en bevindt zich in punt O.
Het huis draait met de rijrichting van het verkeer mee.

       
 

       
  a. Geef in de figuur de plaats aan waar het huis zich op diezelfde maandag om 20.30 uur bevindt. Licht je antwoord toe.
       
  b. Bereken hoeveel hele weken na tijdstip t = 0 het huis zich voor het eerst weer om 08.00 uur op maandag in punt O bevindt.
     

5 weken 
  De straal van de cirkel waarover het huis beweegt, is 30 meter. De afstand A in meters van het huis tot de west-oost-as gedurende een rondgang over de rotonde kan worden weergegeven met de formule A = 30 sin(π/10 • t) , met t de tijd in uren, en t = 0 op het moment dat het huis in O is. Hierbij worden afstanden onder de west-oost-as als negatieve getallen weergegeven.

Je kunt de formule ook zó schrijven dat het beginpunt (t = 0 ) in het noorden, in punt N ligt. De formule heeft dan de volgende vorm:  y = 30sin(π/10 • (t - d))
       
  c. Bereken de waarde van d.  
     

d = 15 
  In onderstaande figuur zie je aan de vetgemaakte blauwe cirkeldelen waar het huis zich minder dan 15 meter van de west-oost-as bevindt.
       
 

       
  d. Bereken met behulp van de formule A = 30 sin(π/10 • t) hoeveel procent van de tijd het huis zich minder dan 15 meter van de west-oost-as bevindt. Geef je antwoord in gehele procenten.
     

33% 
10.     Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-III

Voor elke p met 0 ≤ p ≤ 4 wordt de functie fp met domein 0 ≤ x ≤ 1/2π gegeven door:

fp(x) = -2cos2(x) + p • cos(x) - 1

In de volgende figuur is voor enkele waarden van p de grafiek van fp getekend.
       
 

       
  De grafiek van f3 heeft behalve de oorsprong een tweede gemeenschappelijk punt met de x-as.
       
  a. Bereken exact de x-coördinaat van dat tweede gemeenschappelijke punt.
       
  De grafiek van fp heeft voor p = 4 een hoogste punt voor x = 0 . Ook voor de andere waarden van p heeft de grafiek van fp een hoogste punt. In onderstaande figuur is telkens met een dikke stip het hoogste punt van de grafiek van fp aangegeven. De gestippelde kromme verbindt deze hoogste punten met elkaar.
       
 

       
  Voor de x-coördinaat a van het hoogste punt van de grafiek van fp geldt dat  cos(a) = 1/4p.
       
  b. Bewijs dit.  
       
  De kromme die de hoogste punten van de grafieken van fp verbindt, is de grafiek van de functie g gegeven door
g(x) = cos(2x),  met  0 ≤ x ≤  1/2π
       
  c. Bewijs dit.  
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)