grafieken tekenen


Grafieken.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een grafiek is een erg mooie manier om een "plaatje" te maken van een tabel met getallen.

Neem de tabel hiernaast. Daar staat het één of andere getal P (ik zeg expres niet wat het voorstelt) en elke keer het bijbehorende getal Q.
Als je nu het getal P elke keer x noemt en het getal Q allemaal y, dan staan daar negen paren (P, Q) = (x, y) en die kun je in een assenstelsel tekenen. Kijk maar:

P	2	4	7	9	12	14	19	22	30
Q	2,7	4,5	6,6	7,7	8,8	9,2	9,3	9,1	5,8

Maar daarbij komen er toch een aantal vragen naar boven. Tenminste bij mij wel....
Hier is de eerste:

Wat is x en wat is y ?

Tja, dat is niet altijd zomaar duidelijk.

Je zou de grafiek hierboven bijvoorbeeld net zo goed kunnen tekenen met P op de y-as en Q op de x-as. In sommige gevallen is er wel iets over te zeggen.

1. Als in de opgave erbij staat wat x en wat y moeten zijn.
Soms heb je niets te kiezen maar zegt degene die de opgave maakte (de auteur van het boek, of jouw docent(e) wiskunde) gewoon botweg wat je moet doen. Meestal doen ze dat nog wel redelijk netjes, en staat er:

"Zet y uit tegen x"

Als er bij de oorspronkelijke tabel met P en Q zou staan "Zet Q uit tegen P" dan moet dus Q op de y-as en P op de x-as en krijg je de grafiek hierboven. maar als er staat "Zet P uit tegen Q" dan gaat het net andersom en krijg je de grafiek hiernaast.

2. Oorzaak en Gevolg.
Soms is duidelijk één van beiden de oorzaak en de andere het gevolg ervan. We noemen het ook wel de onafhankelijke variabele (oorzaak) en de afhankelijke variabele (gevolg). De onafhankelijke variabele is degene waar je mee begint, waar je als experimenteerder vaak een waarde voor kiest. De afhankelijke variabele is wat je daarbij meet voor de andere grootheid. In zulke gevallen kies je:

onafhankelijk (oorzaak): x-as
afhankelijk (gevolg): y -as

Voorbeeld.
Stel dat ik een tabel met meetwaarden heb van een aantal keer de temperatuur (T) en de bijbehorende luchtdruk (P), dan hangt er soms van af hoe mijn experiment is geweest. Kijk maar naar de volgende drie gevallen:

Ik ben in een afgesloten kamer gaan zitten en heb langzaam de thermostaat omhoog gedraaid. Bij een aantal temperaturen heb ik steeds de luchtdruk gemeten.
In dit geval is degene waar je mee begint de temperatuur. Je stelt zélf een aantal temperaturen in en meet elke keer de bijbehorende luchtdruk. Ik zou daarom de temperatuur als onafhankelijke variabele kiezen (x-as) en de luchtdruk als afhankelijke (y-as)

Onder een glazen stolp zuig ik langzaam met een pomp de lucht weg. Daardoor wordt de luchtdruk eronder steeds lager en bij een aantal van die luchtdrukken noteer ik de temperatuur.
In dit geval begin je met een luchtdruk in te stellen en meet je daarna de daarbij horende temperatuur. Ik zou daarom nu de luchtdruk op de x-as zetten (begin je mee) en de temperatuur op de y-as

Ik laat een luchtballon langzaam opstijgen en meet elke 100 meter de temperatuur en de luchtdruk.
In dit geval.... weet ik het niet! Doe maar wat!!!

nog twee vage tips:

Vaak wordt gemeten hoe een bepaalde grootheid in de loop van de tijd verandert. In zulke gevallen zou ik de tijd op de x-as zetten (maar weer niet als je bijvoorbeeld iemands reactievermogen meet en het aantal glazen wijn dat hij heeft gedronken, dan zou ik de tijd toch op de y-as zetten. Jij ook?)

De onafhankelijke variabele wordt vaak door de onderzoeker ingesteld en bestaat vaak uit mooie gehele waarden. De afhankelijke is resultaat van een meting en komt vaak niet zo mooi uit. In het allereerste voorbeeld van deze les zou ik daarom, zonder verdere informatie, P op de x-as zetten (mooie getallen) en Q op de y-as.

Moet ik de stippen met lijntjes verbinden of niet?

Soms wel, soms niet.
Dat hangt er van af of de gegevens van de x-as en van de y-as discreet of continu zijn. Daar wordt het volgende mee bedoeld:

•

Gegevens zijn discreet als ze bestaan uit "losse", "alleenstaande" getallen, waarbij de tussenliggende waarden niet allemaal mogelijk zijn. Bekijk bijvoorbeeld het aantal glazen bier dat ik in een week in de kroeg koop. Dat kan gelijk zijn aan 8 of aan 15, maar het is niet gelijk aan 14,672 dat is onmogelijk.

•

Gegevens zijn continu als de tussenliggende waarden in principe ook mogelijk zijn. Bekijk bijvoorbeeld het aantal liter bier dat ik in een week drink. Dat kan gelijk zijn aan 20 of aan 3. Maar het kan ook best 16,2354 zijn. In principe zijn alle tussenliggende waarden mogelijk (alhoewel we daarvoor vaak niet nauwkeurig genoeg kunnen meten; daarom staat er ook in principe).

Om de verschillen duidelijk te maken vier voorbeelden.

voorbeeld 1. Ik koop in de supermarkt een aantal zakken chips voor 0,80 per stuk. Maak een grafiek van het aantal zakken en het bedrag dat ik daarvoor moet betalen.

Ik vind dat het aantal zakken dat ik koop de oorzaak is van het bedrag dat ik moet betalen, dus ik kies ervoor om het aantal zakken op de x-as te zetten en het bedrag op de y-as.
Het aantal zakken kan zijn 0, 1, 2, 3, ... en is dus discreet
Het bedrag kan zijn 0, 0.80, 1.60, 2.40, ... en is ook discreet.
Tussenliggende waarden zijn in beide gevallen niet mogelijk.

Dat geeft de grafiek hiernaast, die dus bestaat uit alleen maar losse stippen.
Merk nog op dat, alhoewel de stippen op een mooie rechte lijn liggen, het toch grote onzin is om die lijn te tekenen! Al die punten daar tussen de rode stippen in bestaan gewoon niet!

voorbeeld 2. Ik plant een boompje in mijn tuin en ik meet elke maand hoe hoog het is.

Omdat de tijd de oorzaak is en de lengte het gevolg kies ik de tijd op de x-as en de lengte op de y-as.

Stel dat ik de meetpunten (rode stippen) hiernaast heb gevonden.
Dan zou ik daar nu wel zo goed mogelijk een lijn doorheen trekken, immers het aantal maanden en de hoogte zijn beiden continu: alle tussenliggende waarden zijn in principe mogelijk.

voorbeeld 3. Ik moet verhuizen en heb daarvoor een aantal dagen een busje nodig. Het verhuurbedrijf vraagt een basisbedrag van €150 en daarbovenop nog eens €60 per dag of gedeelte van een dag. Maak een grafiek tussen de benodigde tijd en het verschuldigde bedrag.

Omdat de tijd oorzaak is en het huurbedrag het gevolg zet ik de benodigde tijd op de x-as en het bedrag op de y-as.
De tijd is continu, maar het bedrag niet, want dat begint bij €150 en gaat alleen in sprongen van €60 omhoog. Tussenliggende waarden kunnen in principe niet voorkomen.

Dat geeft de grafiek hiernaast.

Merk nog even op dat een "open" stip betekent dat het randpunt aan die kant er niet bij hoort, en een dichte stip dat het randpunt zelf er wel bij hoort.

voorbeeld 4.

Een benzinestation bestelt een aantal liters benzine bij een olieraffinaderij. De benzine moet in tankauto's vervoerd worden.
In zo'n tankauto kan 20000 liter benzine. Het rijden van een auto kost €600 per auto, en de benzine kost €0,10 per liter.
Maak een grafiek voor de bestelde hoeveelheid benzine en de prijs. Neem aan dat elk bedrag mogelijk is.

De oorzaak is de bestelde hoeveelheid benzine (x-as) en het gevolg de prijs (y-as).

Het aantal liters benzine is duidelijk continu. Kan alles zijn.

Met de prijs is iets vreemds aan de hand. Die is in principe continu want die hangt af van het aantal liters. Maar de prijs maakt elke keer een sprong van €600 als er weer een nieuwe autorit nodig is. Dus zijn sommige waarden toch niet mogelijk (zoals bijv. €3000)

Dat geeft de grafiek hiernaast.

Het schemergebied.....

Vaak maken wij continue variabelen zelf door onze manier van meten toch discreet.
Neem bijvoorbeeld het gewicht van een aantal leerlingen van de brugklas. Dat lijkt een continue variabele, immers tussen twee gewichten kunnen alle tussenliggende waarden in principe ook aangenomen worden. Iemand kan 62 kg wegen maar ook 63,456 kg of 66,334521 kg of noem maar op.

Maar als we de gewichten wegen met een digitale weegschaal dan zijn opeens die tussenliggende waarden niet meer mogelijk!
Bij één cijfer achter de komma zijn bijvoorbeeld alleen de gewichten 126,4 en 145,3 en dergelijke mogelijk, maar niet meer 126,42 of 145,288897.

Zo maken we eigenlijk in praktijk (bij metingen) alle waarden discreet. We ronden immers altijd af op een vast aantal cijfers achter de komma. Zodoende worden getallen die in theorie continu zijn toch eigenlijk altijd gepresenteerd als discreet.

Bij de opgaven van deze les hoef je daar niet op te letten. Als een waarde in theorie continu is, mag je hem ook continu tekenen, en hoef je je niet druk te maken over de manier waarop hij gemeten wordt.

Zijn er verder nog dingen om op te letten?

We zijn d'r bijna. Een paar kleinigheden nog.......

scheurlijn.

Soms zijn de getallen waar je mee te maken hebt erg groot en variëren ze helemaal niet zoveel. Als je dan een grafiek tekent, dan zie je eigenlijk niet zoveel. Neem de volgende tabel links waarvan twee grafieken zijn gemaakt:

x	y
0 1 2 3 4 5 6 7 8	600 608 611 595 592 598 610 615 621

In de grafiek in het midden is niet veel te zien, omdat alle y-waarden zo rond de 600 liggen. Het hele stuk van 0 tot 500 op het grafiekpapier wordt eigenlijk niet gebruikt.
In de rechtergrafiek is dat stuk weggelaten, en is de schaalverdeling van de y-as uitgerekt. Dat er een stuk is weggelaten geven we aan met dat zigzagfiguurtje op de y-as. Dat heet een "scheurlijn". Je ziet dat daardoor de variatie in de y-waarden veel duidelijker te zien is.

twee verticale assen.

Soms wil je twee dingen met elkaar vergelijken (vooral hun toename of afname) die erg in grootte verschillen.

Hiernaast zie je het BNP (Bruto Nationaal Product) van de landen Japan en Portugal beiden in miljarden dollars. Omdat dat nogal verschilt is het niet handig om dezelfde schaalverdeling te gebruiken; dan zou je van Portugal helemaal niets zien!!

Daarom is Japan getekend met de linker y-as en Portugal met de rechter y-as. Zo kun je toch de veranderingen vergelijken met elkaar.

Bedenk wel dat dat snijpunt daar helemaal niets voorstelt!

Bedenk ook dat de hellingen niet met elkaar te vergelijken zijn. Die "steile" afname van Portugal tussen 1985 en 1990 is bijvoorbeeld absoluut veel kleiner dan de "lichte" afname van Japan tussen 1995 en 2000.......

Omdat beide verticale assen ook nog scheurlijnen hebben is er zelfs niets over de procentuele toename of afname te zeggen!

OPGAVEN

Leg van de volgende waarden uit of ze (in principe) discreet of continu zijn:

Het cijfer dat je op je volgende natuurkunde proefwerk gaat halen.

discreet

De temperatuur die het morgenochtend als je naar buiten stapt zal zijn.

continu

De afstand die iemand elke dag naar zijn werk toe aflegt.

continu

De afstand die iemand volgens zijn stappenteller op een wandeling heeft afgelegd.

discreet

Het aantal letters op een bladzijde van een boek.

discreet

De tijd die je de komende week zult doorbrengen achter jouw computer.

continu

De totale prijs voor de boodschappen die iemand in de supermarkt doet.

discreet

Maak grafieken bij de volgende verhaaltjes:

Iemand doet mee aan een spelshow en moet zo snel mogelijk een vastgesteld aantal liters water van een zwembad naar een aquarium brengen. Hij heeft daarvoor een kan waar 2 liter water in kan. Elke keer heen en weer lopen plus de kan legen en vullen kost samen 30 seconden. Hij begint bij het aquarium met een lege kan. Maak een grafiek voor het benodigde aantal liters en de tijd die het kost.

Een groot aantal leerlingen gaat op schoolreis. Ze gaan in busjes, en in elke busje passen 12 leerlingen. Het huren van een busje kost €65,- Maak een grafiek voor de totale prijs als functie van het aantal leerlingen.

Een supermarkt verkoopt appeltaarten voor €2,30 per stuk. Maar men heeft vandaag de actie: “3 halen, 2 betalen”. Maak een grafiek van de prijs als functie van het aantal taarten.

Een groot aantal liters verf moet in blikken worden gegoten. Het zijn blikken van 10 liter. Maak een grafiek voor het aantal benodigde blikken als functie van het aantal liters verf.

Examenopgave VWO Wiskunde A, 2006.

De meeste roofdieren proberen iedere dag hun voedsel zo snel mogelijk te vangen. Naarmate meer voedsel is gevangen wordt het vaak moeilijker om nog nieuw voedsel te vangen. Deze opgave gaat over het wiskundige model dat daarbij gemaakt kan worden. In dat model geeft de opbrengstfunctie het verband aan tussen de hoeveelheid voedsel (de voedselopbrengst) en de tijd die nodig is om die hoeveelheid voedsel te vangen.

In de volgende figuur is de grafiek getekend van de opbrengstfunctie voor roofdiersoort A. De voedselopbrengst is uitgedrukt in energie-eenheden (ee) en de benodigde tijd in uren.

We bekijken een roofdier van soort A. Na 0,5 uur heeft dit roofdier een bepaalde hoeveelheid energie aan voedsel gevangen. Om de dubbele hoeveelheid te vangen is meer dan het dubbele van 0,5 uur nodig.

Bepaal met behulp van de figuur hoeveel maal zo groot de daarvoor benodigde tijd is.

4 à 5 keer

Examenopgave VWO Wiskunde A, 2008.

Bij de bouw van woningen en gebouwen controleert de overheid of de constructie veilig is. Deze controle kost tijd. Hoe duurder het gebouw, hoe meer controletijd men denkt nodig te hebben. Het verband tussen de benodigde controletijd en de bouwkosten is weergegeven in de volgende figuur.

Van een gebouw A zijn de bouwkosten 1 miljoen euro. In de figuur hierboven is af te lezen dat de controletijd van gebouw A 50 uren is. Een gebouw B is twee keer zo duur als gebouw A.
Hoeveel keer zo groot is de controletijd van gebouw B ten opzichte van de controletijd van gebouw A? Licht je werkwijze toe.

1,52 keer

Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2010.

Om het brandstofverbruik van verschillende typen vliegtuigen te kunnen vergelijken, kijkt men naar het brandstofverbruik per kilometer per passagier. Men gaat er daarbij van uit dat alle plaatsen (stoelen) in het vliegtuig bezet zijn.
Dit brandstofverbruik per kilometer per passagier wordt brandstofverbruik per skm (stoelkilometer) genoemd en wordt uitgedrukt in gram.

Men kan soms brandstof besparen door zo weinig mogelijk brandstof voor de vlucht mee te nemen. Als bij een vliegtuig de brandstoftanks helemaal vol zijn, gebruikt het vliegtuig veel meer brandstof dan wanneer de tanks halfvol zijn. Het vliegtuig is dan immers veel zwaarder. Een vliegtuig neemt dan ook altijd precies de hoeveelheid brandstof mee die
voldoende is voor de lengte van de vlucht.

In de figuur hiernaast is voor een bepaald type vliegtuig het brandstofverbruik per skm uitgezet tegen de vluchtlengte in km.

Bij een vlucht van 9000 km zou na elke 3000 km een tussenlanding gemaakt kunnen worden.

Als de vliegmaatschappij daartoe besluit, hoeft het vliegtuig bij elk vertrek maar voor 3000 km aan brandstof mee te nemen en niet in één keer voor 9000 km.

Bereken hoeveel procent het vliegtuig op deze manier aan brandstof per skm kan besparen.

Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2017-II

De atmosfeer, ook wel dampkring genoemd, is het gasvormige omhulsel van de aarde en is opgebouwd uit verschillende lagen. De onderste drie lagen zijn de troposfeer, de stratosfeer en de mesosfeer. De overgangszone tussen de onderste twee lagen wordt de tropopauze genoemd, de overgangszone daarboven de stratopauze. Zie de figuur.
De hoogtes waarop de verschillende lagen en overgangszones zich bevinden, zijn niet overal op aarde gelijk en kunnen door de tijd heen variëren. Om zaken toch goed te kunnen vergelijken heeft men een model voor de onderste drie lagen en overgangszones vastgesteld: de standaardatmosfeer. De temperatuur op een bepaalde hoogte is in de figuur af te lezen. Daarin zie je het verband tussen de temperatuur T in °C en de hoogte h in km. Zo kun je aflezen dat op een hoogte van 10 km de temperatuur –50 °C is.

In elk van de drie sferen is er een laagste en hoogste temperatuur.
Bepaal in welke van de drie sferen het verschil tussen de hoogste en laagste temperatuur het kleinst is. Licht je antwoord toe.