De hoek tussen twee vectoren.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     

     

cosinusregel.
We gaan deze les proberen (en dat gaat lukken zal ik alvast verraden) een formule voor de hoek tussen twee vectoren af te leiden.
Als je vectoren verplaatst verandert de hoek ertussen niet, dus we mogen om te beginnen die twee vectoren wel allebei met het beginpunt in de oorsprong leggen.
Als de kentallen van die vectoren a, b, c en d zijn dan levert dat de driehoek OPQ hiernaast op, met P(a, b) en Q(c, d)
De gezochte hoek is hoek α hiernaast.

       
In zo'n willekeurige driehoek kennen we al de cosinusregel (zie voorkennis)
Die luidde als volgt:   PQ2 = OP2 + OQ2 - 2OP • OQ • cosα
       
We gaan die kwadraten uitdrukken in de kentallen van de vectoren:
•

• OP2 = a2 + b2    
• OQ2 = c2 + d2    
       
Invullen in die cosinusregel:   (c - a)2 + (d - b)2 = a2 + b2 + c2 + d2 - 2OP • OQ • cosα
Haakjes wegwerken:  c2 - 2ac + a2 + d2 - 2db + b2 = a2 + b2 + c2 + d2 - 2OP • OQ • cosα
Daar valt van alles weg:   - 2ac  - 2db = - 2OP • OQ • cosα  ⇒  ac  + db = OP • OQ • cosα

Daar in de noemer staan gewoon de lengtes van de vectoren.
Daar in de teller staat iets aparts wat wiskundigen het "inproduct" van de vectoren noemen. Daarover zo meteen meer. Eerst maar even deze regel wat netter noteren (zonder die OP en OQ):
       

 

       
Voorbeeld.
 
Voorbeeld.
 
Het inproduct is  2 • 4 + 3 • p  = 8 + 3p.  De lengtes zijn √(4 + p2) en  5  en verder is  cos60º = 1/2
Kwadrateren:  61/4(4 + p2) = (8 + 3p)2   ⇒  25 + 61/4p2 = 64 + 48p + 9p2  
⇒ 23/4p2 + 48p + 39 = 0  en de ABC formule geeft  p ≈ -16,60  en  p ≈ -0,85
De oplossing die voldoet is p ≈ -0,85

Voor de hoek tussen twee lijnen moet je uiteraard gewoon de hoek tussen hun richtingsvectoren nemen (die geven immers de richting aan). Het is alleen gebruikelijk om bij de hoek tussen twee lijnen de niet-stompe hoek te noemen (er zijn immer twee mogelijkheden voor de hoek). Dat kun je doen door een stompe hoek die je vindt met cos-1 van 180° af te trekken. Je kunt het ook doen door dat inproduct altijd positief te nemen (de absolute waarde!), dan levert cos-1  altijd een niet-stompe hoek. 

Oké, even een paar oefeningen en dan verder naar dat intrigerende inproduct....
       
OPGAVEN
   
1. Bereken de hoek tussen de volgende lijnen:
         
  a.
         
  b.
         
  c.
         
  d. l:    y = 4x - 5  en   m:  y =  -3x - 7
         
  e. l:   y = -5x - 2  en  m:  3x - 5y = 12
         
2.
         
 
 
Het inproduct.
       
Je krijgt het inproduct van twee vectoren door de bij elkaar horende kentallen met elkaar te vermenigvuldigen en dat dan allemaal bij elkaar op te tellen. Het inproduct wordt ook wel opgeschreven door een punt tussen beide vectoren te zetten, net zoals bij getallen (in het Engels heet het ook wel  "DOT-product").
       

       
Dat laatste is gekregen door de cosinusformule hierboven iets om te schrijven.
In woorden:  inproduct = lengte1 · lengte2 · cosα

Vergeet niet steeds het volgende in gedachten te houden:
       

een inproduct is geen vector maar een getal.
       
Kun je je daar iets bij voorstellen?

Nou, een product is natuurlijk dingen met elkaar vermenigvuldigen. Hier worden duidelijk de lengtes van de vectoren met elkaar vermenigvuldigd, maar niet zomaar. 
Als je de vectoren even  v1 en v2 noemt, dan staat er:
inproduct = lengte v1 • lengte v2 • cosα
Maar dat  stuk  (lengte v2 • cosα) kun je opvatten als de lengte van de projectie van v2 op v1. Zie de figuur hiernaast.
Het inproduct is dus zoiets als de lengtes met elkaar vermenigvuldigd, maar alleen  voorzover ze dezelfde kant oplopen. Je kunt v2 immers opgebouwd denken uit een vector v2cosα die evenwijdig aan v1 loopt en een vector v1sinα die er loodrecht op staat.

       
Toepassing.

Met een inproduct kun je erg snel kijken of twee vectoren loodrecht op elkaar staan.
Immers als dat zo is, dan is cosα = 0 en dan is het inproduct ook nul (de vectoren lopen dan een volledig verschillende kant op).
       

v1 en v2 staan loodrecht op elkaar  ⇔  inproduct = 0
       
Voorbeeld.
5,20 • -1,80 + -3,20 • -2,92 = -0,016
Dat is niet gelijk aan nul, dus de vectoren staan niet loodrecht op elkaar.
       
Omdat je die (lengte v2 • cosα)  kon opvatten als de projectie van  v2 op  v1 geeft dat inproduct ook een mogelijkheid om die projectie van v2 op v1 te vinden. Het is natuurlijk de vector die dezelfde richting als v1 heeft, maar dan met lengte gelijk aan  (lengte v2 • cosα). Je vindt hem dus door vector v1 te delen door zijn eigen lengte en dan weer te vermenigvuldigen met (lengte v2 • cosα).
Denk erom dat daar rechts twee inproducten van vectoren staan, dus dat je niet gaat wegdelen of zoiets.
Er is gebruik gemaakt van het feit dat het inproduct van een vector met zichzelf gelijk is aan de lengte van die vector in het kwadraat (immers bij twee dezelfde vectoren is cosα = cos 0º = 1)
       
Voorbeeld.
       
OPGAVEN
   
3. Geef de kentallen van de volgende projecties:
         
  a.
         
  b.
         
4. Bereken met behulp van de formule voor de projectie van een vector de projectie van punt  P(3, 2) 
op lijn l:   y = 31/2x
         
5. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2015-I

Over de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1 beweegt een punt A met bewegingsvergelijkingen:
 

  Over de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 2 beweegt een punt B met bewegingsvergelijkingen:
 

         
  Op het interval  〈0, π〉  is er één tijdstip waarop lijnstuk AB raakt aan de kleinste cirkel. Zie de volgende figuur.
         
 

  Bereken exact dit tijdstip.
       

t = 1/3π
6. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2015-II

Gegeven zijn de punten A(-2,3) en B(6,7) .

In de volgende figuur zijn op de y-as de punten P en Q getekend waarvoor geldt dat ∠APB =∠AQB = 90º.
         
 

         
  Bereken exact de coördinaten van P en Q.
         
7. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2019-I
         
  Gegeven zijn de functies  fp(x) = cosx/(p - sin2x)  met p ≠ 0
De punten op de grafiek van fp met x-coördinaten 0, π en 2π noemen we respectievelijk P, Q en R.
In onderstaande figuur is voor een waarde van p de grafiek van fp weergegeven.
Ook zijn de lijnstukken PQ en QR weergegeven.
         
 

         
  Bereken voor welke  waarden van p de lijnstukken  PQ en QR loodrecht op elkaar staan.
         
8. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2022-II

Rechthoek ADEH bestaat uit drie vierkanten ABGH, BCFG en CDEF.
 
  Verder zijn gegeven de lijnstukken AF en HD.
S is het snijpunt van AF en HD.
Zie de figuur.
         
 

         
  a. Bewijs dit    
         
  b. Onderzoek of de vectoren BS en HD loodrecht op elkaar staan.
         
9. Examenopgave VWO, Wiskunde B, 2022-III
         
  Gegeven is de lijn k met vectorvoorstelling
 

  en de lijn l met vectorvoorstelling:
 

  De lijnen k en l snijden elkaar in een punt S.
Lijn m is een lijn met vectorvoorstelling
 

         
  De waarden van a en b kunnen zo worden gekozen dat m de scherpe hoek die de lijnen k en l met elkaar maken, in twee gelijke hoeken verdeelt.
In de figuur is deze situatie getekend.
         
 

         
  In deze situatie geldt  a = 13/4.
         
  a. Bewijs dit.
         
  b. Bereken exact de waarde van b.
     

b = -11

         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)