horizontale asymptoten


Horizontale asymptoten.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

VRAAG 1: WAT ZIJN DAT?

In het algemeen zijn asymptoten rechte lijnen waar de grafiek van een functie "langs gaat lopen".
Dat betekent dat de grafiek zo'n rechte lijn steeds dichter en dichter nadert, en er willekeurig dicht bij komt, maar hem nooit snijdt.

Hieronder zie je vier voorbeelden van horizontale asymptoten. De horizontale asymptoot is steeds als rode stippellijn getekend. Een pijl aan de grafiek geeft aan dat daar sprake is van een horizontale asymptoot.

Je ziet dat een grafiek soms aan beide zijkanten een asymptoot heeft, soms maar aan één zijkant.
Verder zie je in de figuur linksonder dat een grafiek de asymptoot best kan snijden. Als de grafiek aan een zijkant maar langs de asymptoot gaat lopen; ergens anders mag hij hem best snijden.

VRAAG 2: HOE SPOOR IK ZE OP?

Dat hebben we eigenlijk hierboven al ontdekt. Horizontale asymptoten zitten altijd "aan de zijkant van de grafiek"
Eigenlijk zie je in de grafieken bij zo'n asymptoot het volgende verschijnsel:

"Als je x maar ver genoeg naar rechts of naar links kiest,
dan wordt y uiteindelijk een constant getal"

En dat geeft ons ook meteen de manier om asymptoten op te sporen. Neem voor x een getal ver genoeg naar rechts of naar links (dus bijvoorbeeld 1000000000 of -1000000000) en vul dat in in de formule. Als de y-waarde een (ongeveer) constant getal wordt, dan is er sprake van een horizontale asymptoot. Als de y-waarde ook heel groot of heel klein wordt zal dat niet zo zijn. Conclusie:

Vul voor x een erg groot (positief of negatief) getal in.
Kijk of er een constante y uitkomt.

1. Geef de horizontale asymptoten van de grafieken van de volgende functies:

a. y = 4 • 2^x - 3

y = -3

d. y = ^{(2x
- 4)}/_{(6 - 6x)}

y = -¹/₃

b. y = 5 + ³/_x

y = 5

y = -2

c. y = 4 + ^2x/_{(x - 200)}

y = 6

f. y = x • 2^x

y = 0

Als een blikje frisdrank uit de koelkast gehaald wordt, dan warmt het op. In het begin redelijk snel, maar naarmate het verschil tussen de temperatuur van het blikje en de temperatuur van de kamer steeds kleiner wordt, gaat dat opwarmen ook steeds langzamer. De volgende formule blijkt te gelden:

T(t) = 21 - 15 • 0,96^t

Daarin is T de temperatuur van het blikje en t de tijd in minuten met t = 0 het moment van uit de koelkast halen.

a. Hoe hoog is de temperatuur binnen in de koelkast?

6 ºC

b. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van T? Wat stelt dit in praktijk voor?

T = 21

Als de temperatuur hoger wordt, wordt het gevaar van blauwalg in openlucht zwemwater ook groter. In de zomer en nazomer kan dat grote overlast bezorgen. De optimale groeiomstandigheden zijn een temperatuur tussen de 20°C en 25°C en mineraalrijk water.
In verband met de gezondheid wordt aangeraden niet te zwemmen in gebieden met te veel blauwalg. De blauwalgen kunnen giftige stoffen afscheiden die leiden tot hoofdpijn, huidirritatie, misselijkheid, diarree en koorts.
Een bioloog heeft voor het gewichtspercentage blauwalg in het water tijdens een blauwalg-plaag het volgende model opgesteld:

P is het gewichtspercentage blauwalg, en t de tijd in dagen.

Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van P(t)? Wat stelt dat in praktijk voor?

P = 12

Een vrachtwagenchauffeur moet voor een transport een grote berg oversteken. De route omhoog is 50 km, en die omlaag is ook 50 km. De chauffeur weet dat hij bij de weg omhoog een kleinere gemiddelde snelheid zal halen dan bij de weg omlaag. Hij wil graag over het hele traject (omhoog en omlaag samen) een gemiddelde van 60 km/uur halen. Daarbij telt hij alleen de pure rijtijd. Bovenop de berg is namelijk een wegrestaurant, en daar wil hij even pauzeren, maar die tijd telt hij niet mee.
In het wegrestaurant boven ziet hij dat hij over de route omhoog precies 75 minuten heeft gedaan. Dat is exact 40 km/uur. Hij denkt dat hij omlaag dan met 80 km/uur zal moeten rijden om totaal een gemiddelde van 60 te halen, maar een nadere berekening toont aan dat dat niet zo is!

a. Laat met een berekening zien dat 80 km/uur omlaag niet genoeg is voor in totaal 60 km/uur.

De man probeert een formule op te stellen voor de totale gemiddelde snelheid (V_tot) als functie van de gemiddelde snelheid bij het afdalen (v). Hij komt uit op:

b. Leid deze formule ook zelf af.

c. Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van deze functie? Wat stelt dat in praktijk voor?

V_tot = 80

BEREDENEREN is mooier dan INVULLEN

Soms kun je zonder zo'n grote x in te vullen toch aan de formule zien waar een horizontale asymptoot zal zitten.
Neem de volgende functie:

Ziet er vrij moeilijk uit, maar toch kun je eenvoudig beredeneren wat de horizontale asymptoot van deze grafiek zal zijn. Dat gaat als volgt.
Bekijk de teller en de noemer eens apart.
Eerst maar de noemer. Wat gebeurt daarmee als x heel heel heel groot wordt? Nou, dan doet de 32 er niet veel meer toe, vergeleken met de 8x² is die wel te verwaarlozen. De noemer zal ongeveer gelijk worden aan 8x²
Dan de teller. Als x heel groot wordt, dan kun je zelfs die 3x wel verwaarlozen ten opzichte van de 2x² Neem x bijvoorbeeld een miljoen. Dan is 3x wel gelijk aan 3000000 maar 2x² is gelijk aan 2000000000000. De teller wordt dus ongeveer gelijk aan -2x²

Conclusie: er staat ongeveer

En dat is gelijk aan ^-2/₈ = -0,25.
De horizontale asymptoot zal de lijn y = -0,25 zijn.

Hiernaast zie je dat dat inderdaad klopt.

5. Beredeneer wat de horizontale asymptoten van de grafieken van de volgende functies zullen zijn.
Controleer je antwoord na afloop met je Grafische Rekenmachine.

y = 6 - ⁵/_x

y = 6

y = 0,5

y = 3,5

y = 3 • 0,8^x + 2

y = 2

y = 5 • 2^-x

y = 0