Impliciete vergelijkingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Bij een functie  f(x) = ...  hoort bij elke x hoogstens één y.
Zo'n functie is eigenlijk een soort machientje waar je een x ingooit, en waar (meestal) een y weer uitkomt.
Daarom kun je zo'n functie ook schrijven als  y = ........  en dat heet ook wel een expliciete vergelijking.
't Is eigenlijk een recept hoe je van een x een y maakt.

Maar er zijn ook vergelijkingen die je niet zomaar als y = ..... kunt schrijven. Vergelijkingen waar allemaal x-en en y-en door elkaar staan. Dat heten impliciete vergelijkingen.
Die zijn een stuk lastiger te behandelen dan expliciete vergelijkingen.  Je kunt niet zomaar vergelijkingen oplossen, je kunt niet zomaar de helling bepalen met een afgeleide, je kunt zelfs niet zomaar een grafiek schetsen door een tabel te maken.

Wat kan er dan wél?

1.  Expliciet maken.

Soms kun je een impliciete vergelijking ombouwen naar één of meerdere expliciete vergelijkingen.
Kijk maar naar de volgende voorbeelden.

Voorbeeld 1:  Kwadraat afsplitsen.
Neem de vergelijking  x2 + 4y2 + 6x - 8y = 47
Die is als volgt om te schrijven:
x2 + 6x + 9 - 9  + 4(y2 - 2y + 1 - 1) = 50
⇒ (x + 3)2 - 9 + 4((y - 1)2 - 1) = 50
⇒ (x + 3)2 + 4(y - 1)2 = 60
⇒ 4(y - 1)2 = 60 - (x + 3)2
⇒ (y - 1)2 = 15 - 1/4(x + 3)2
⇒ (y - 1)  = ±√(15 - 1/4(x + 3)2)
⇒ y = 1 ±√(15 - 1/4(x + 3)2)  en nu zijn het twee expliciete formules geworden. Kun je gewoon met je GR plotten.

Voorbeeld 2:  ABC-formule
Neem de vergelijking  xy2 + 2x = x2y - 10
Die is als volgt om te schrijven:
xy2  + x2y + 10 + 2x = 0
Dat kun je zien als een ABC-formule in y met a = x  en  b = x2  en  c = 10 + 2x
Dat geeft dan

En dat zijn weer twee expliciete vergelijkingen.
   
2. Snijpunten met de assen.

Die zijn meestal vrij eenvoudig te vinden. Immers voor de x-as stel je gewoon y = 0  en voor de y-as stel je x = 0. Hopelijk kun je de vergelijking die dan overblijft oplossen.

 
Snijpunt x-as:  y = 0
Snijpunt y-as:  x = 0
 

Voorbeeld.
Gegeven is de kromme K door  y2 + 2xy = 4y + 12 - 6x2
Snijpunten met de y-as:  x = 0 ⇒  y2 - 4y - 12 = 0 ⇒  (y - 6)(y + 2) = 0  ⇒ y = 6  ∨  y = -2.  Dus  (0, 6) en (0, -2)
Snijpunten met de x-as:  y = 0  ⇒ 12 - 6x2 = 0 ⇒ x2 = 2 ⇒  x = √2  ∨  x = -√2  dus  (√2, 0) en (-√2, 0),
   
3. Asymptoten.

Asymptoten zul je op moeten sporen door te bekijken wat er gebeurt als x of y oneindig groot wordt. Dat gaat meestal niet met berekeningen, maar met redeneringen. Daar horen deze drie plaatjes bij:
 

   
Voor horizontale asymptoten gaat x naar oneindig. Meestal is het dan handig om alles te delen door de hoogste macht van x, want dan gaan er allemaal termen naar nul toe. Voor verticale asymptoten is het net andersom: dan gaat y naar oneindig, en kun je het best gaan delen door de hoogste macht van y.

De scheve asymptoot is de lastigste.
In het laatste plaatje zie je dat de helling van die dunne lijntjes constant gaat worden (steeds meer gelijk aan de helling van de asymptoot). Dat betekent dat, als x of y oneindig groot worden, dat dan  y/x constant wordt.
 
horizontale asymptoot:   deel door de hoogste macht van x
verticale asymptoot:   deel door de hoogste macht van y
scheve asymptoot:   deel door de hoogste macht van x of y
 

Van alle drie maar een voorbeeld, lijkt me.
   
Voorbeeld.
Toon aan dat    y3x + 6y2 = 8 + 2y3  een verticale asymptoot heeft.
Voor een verticale asymptoot gaat y naar oneindig.
Deel daarom alles door de hoogste macht van y, dus door y3
Dat geeft  x + 6/y = 8/y3 + 2
Als y naar oneindig gaat, gaan 6/y en  8/y3 naar nul.
Dan blijft over  x = 2 en dat is de verticale asymptoot.

Voorbeeld.
Toon aan dat  √x + 4x = 2xy - 1  een horizontale asymptoot heeft.
Voor een horizontale asymptoot gaat x naar oneindig.
Deel daarom alles door de hoogste macht van x, dus door x.
Dat geeft  1/√x + 4 = 2y - 1/x
Als x naar oneindig gaat, gaan 1/√x en  1/x naar nul.
Dan blijft over 2y = 4  dus y = 2 is de horizontale asymptoot.

Voorbeeld.
Toon aan dat  4x2 = y2 + 8x  een scheve asymptoot heeft.
Als x naar oneindig gaat, dan wordt  8/x gelijk aan nul.  Dat geeft dan    y/x = 2  ∨  y/x = -2
Eigenlijk moet hier dus in plaats van "y/x is 2" staan "y/x gaat naar 2"
Er zullen twee scheve asymptoten zijn. Eentje met helling 2, en eentje met helling -2.
   
4. Symmetrie:  In de volgende les.
   
   
1. Schrijf  de volgende impliciete vergelijkingen in expliciete vorm(en), en plot de grafieken.
       
  a. xy2 + 2xy = 4y + x3
       
  b. 2x2 + 4y2 - 10x = 2y + 4
       
  c. y4 + 2x = 4y2 + 1
       
2. Onderzoek de volgende krommen (bereken de snijpunten met de coördinaatassen, de asymptoten en schets de krommen). Doe dat zonder de vergelijkingen expliciet te schrijven.
       
  a. x + 2xy = 2 + y
       
  b. 2x2 = y2 + 10 + x
       
  c. x2y + y - 4x = 2 - 6x2
       
  d. y2 - 2x2 = 2xy - 2y + 8  
       
3. examenvraagstuk VWO, 1983
       
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is gegeven de kromme K met vergelijking:
       
 

       
  Onderzoek of K een asymptoot heeft.  Teken K voor  x ∈ [-5, 3].
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)