© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
En nu alles door elkaar.....
We hebben al erg veel verschillende principes en methodes van de kansrekening besproken.
Het wordt hoogste tijd om alles eens lekker door elkaar te gooien.
Eerst nog even de hoofdlijnen:
Principe 1:  EN  - OF
Als er twee gebeurtenissen A en B zijn, dan geldt algemeen:
P(A én B)

•

 P(A) • P(B)  met P(B) in de nieuwe situatie

•

 P(A) • P(B) als A en B onafhankelijk zijn
P(A óf B)

•

 P(A) + P(B) - P(A én B)
  Daarbij is P(A én B) nul als A en B niet tegelijk kunnen voorkomen.
 
Principe 2:  Kansboom of Vaasmodel?

Voor het berekenen van kansen hebben we twee basismethodes:

Kansboom.
• bereken de kans op een tak door de kansen te vermenigvuldigen.
• tel de gunstige takken op.

•

 speciaal geval:  binomiaal (n, p, k).
Vaasmodel.
• zonder terugleggen.
• bereken gunstig/mogelijk  met combinaties.
• maak bij voorwaardelijke kansen een kruistabel.
 
Het volgende voorbeeld laat zien hoe deze verschillende aspecten gecombineerd in een opgave kunnen voorkomen.
 
voorbeeld 1.

Een spin zit in zijn web en probeert de vliegen die voorbijkomen te vangen. De kans dat hij een vlieg vangt is 60%.
Maar als een spin 2 vliegen op een dag heeft gevangen, dan zit hij vol en is verder niet geïnteresseerd in vliegen.
De kans dat een voorbijkomende vlieg dan nog gevangen wordt is nul.

Op een dag komt de achtste vlieg van die dag voorbij. Hoe groot is de kans dat deze vlieg gevangen wordt?

 

  
oplossing
Je moet jezelf bedenken dat er twee verschillende mogelijkheden zijn op het moment dat de achtste vlieg de spin passeert.
Mogelijkheid A: de spin heeft al 2 vliegen gevangen van de vorige 7.
Mogelijkheid B: de spin heeft nog geen 2 vliegen gevangen van de vorige 7.

Nu geldt:  P(achtste vlieg wordt gevangen) = P(B) • 0,6.

P(B) is de kans dat de spin 0 of 1 vliegen heeft gevangen van de 7 waarbij elke keer de kans op vangen 0,6 is en op niet-vangen 0,4.
P(0) = 0,47 = 0,0016
P(1) = 0,46 · 0,6 · 7 = 0,0172
P(nog geen 2) = 0,0188

De kans dat de achtste vlieg wordt gevangen is daarom  0,0188 • 0,60 = 0,0113.
voorbeeld 2

Ik heb een trommel met 9 lollies erin:  3 kersensmaak, 3 aardbeiensmaak en 3 citroensmaak.
Op het feestje van mijn zoontje zijn 5 kinderen aanwezig, die allemaal natuurlijk een eigen lievelingssmaak hebben.
Hoe groot is de kans dat ieder zijn eigen lievelingssmaak kan krijgen?

oplossing.

Het is handiger om de kans uit te rekenen dat NIET iedereen zijn eigen lievelingssmaak kan krijgen.
Dat is zo als er 4 kinderen OF 5 kinderen zijn met dezelfde lievelingssmaak.
Zet de kinderen op volgorde en noteer hun lievelingssmaak.
5 dezelfde smaak:   kkkkk, aaaaa, ccccc en dat zijn 3 mogelijkheden.
4 dezelfde smaak:   kkkkX, aaaaX, ccccX en die X kan op vijf plekken staan en kan steeds twee mogelijke letters zijn. Dat zijn in totaal dus  3 • 5 • 2 = 30 mogelijkheden.
Het gunstige aantal mogelijkheden is daarmee 33.
Het totaal aantal mogelijkheden is  35 = 243.
De kans is dan  33/243 op NIET iedereen zijn lievelingssmaak, dus  1 - 33/243 = 210/243  op WEL iedereen zijn eigen lievelingssmaak.
 
EN NU ZELF:
   
 
 
OPGAVEN
1. Het verjaardagsprobleem.
Hoe groot is de kans dat van een groep van 30 mensen er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn?
2. Twee spelers doen mee aan een knock-out tennis toernooi. 
Er zijn 32 deelnemers, en elke ronde wordt geloot wie tegen wie moet. Zodra een speler verliest is hij uitgeschakeld en doet niet meer mee.
Neem aan dat alle spelers even sterk zijn (dus kans 1/2 hebben om van elke andere te winnen of verliezen)

Hoe groot is de kans dat de twee spelers elkaar tegenkomen?
3. De onderkant van een vrachtwagen ziet eruit als hiernaast. Hij heeft 18 banden.
Er zijn 6 groepen banden. Zie de figuur.
Plotseling exploderen 4 banden. 
Hoe groot is de kans dat tenminste één van de groepen in zijn geheel kapot is?

4.
Enkele vrienden spelen met elkaar het volgende kansspel:
• Iedereen betaalt als inzet €1,-
• eerste ronde: iedereen gooit met 1 dobbelsteen
• tweede ronde: wie de eerste ronde even heeft gegooid mag nog eens gooien.
• derde ronde:  wie de tweede ronde een zes heeft gegooid mag nog eens gooien.
Het spel is nu afgelopen en de pot wordt gelijkelijk verdeeld over het aantal zessen dat is gegooid. Als niemand een zes heeft gegooid blijft het geld in de pot voor de volgende ronde. 
a. Bereken de kans dat een speler meedeelt in de pot.
 
Voor het aantal zessen dat een speler gooit geldt bij benadering de volgende tabel;
aantal zessen 0 1 2 3
kans 0,778 0,185 0,032 0,014
b. Bereken het getal 0,185 exact.
 
Drie spelers spelen samen dit spel. 
c. Hoe groot is de kans dat na 8 spellen nog steeds niemand iets heeft gewonnen?
   
d. Hoe groot is de kans dat een speler bij één spel 1/3 deel van de pot krijgt?
5. Een tuinder gaat 12 bomen in een rij planten. Het zijn 3 appelbomen, 4 perenbomen en 5 kersenbomen.
Hij plant ze in willekeurige volgorde.
Hoe groot is de kans dat er nergens twee kersenbomen naast elkaar staan?
6. Bij het spel Yahtzee gooi je met 5 dobbelstenen.
Een "Full House" betekent dat je van één cijfer er drie hebt gegooid en van een ander cijfer twee.

Bereken de kans op een full house.

       
7. Een kubus van 3 bij 3 bij 3 wordt helemaal rood geverfd.
Vervolgens wordt hij in 27 gelijke kubusjes van 1 bij 1 bij 1 gesneden.
Die 27 kubusjes doe je in een doos, en daar pak je willekeurig een kubusje uit.
Dat gooi je op tafel.

     
  a. Hoe groot is de kans dat het vlak van dat kubusje dat bovenop ligt rood is?
     
  b. Hoe groot is die kans als je een n bij n bij n kubus verdeelt in allemaal kubusjes van 1 bij 1 bij 1?
       
8. Anton, Betty, Conny, Diana en Erik gaan op willekeurige plaatsen om een ronde tafel zitten.

Hoe groot is de kans dat dat Bettie precies tussen Anton en Conny in komt te zitten (dus dat Bettie naast Anton én naast Conny zit)?

       
9. Een  jongetje gaat langs de deuren om kinderpostzegels te verkopen. Hij verkoopt mapjes van 1 euro.  Het ventje heeft echter geen wisselgeld bij zich, en moet dus maar hopen dat de mensen vaak gepast kunnen betalen. Pas als hij een aantal mapjes van 1 euro heeft verkocht, dan heeft hij natuurlijk wel wisselgeld. Neem aan dat alle mensen óf gepast betalen, óf met een muntstuk van 2 euro (waarbij ze dus een euro terug moeten krijgen). De kans op beide mogelijkheden is 0,5.
       
  a. Hoe groot is de kans dat hij de eerste drie mapjes die hij verkoopt zonder wisselproblemen kan verkopen?
       
  b. Geef in het rooster hiernaast alle routes aan waarbij er bij de eerste zes mapjes niemand op wisselgeld hoeft te wachten.

Hoe groot is de kans dat er bij de eerste zes mapjes geen wisselproblemen zijn?

     
  c. Hoe groot wordt de kans op vraag b) als het jongetje in het begin twee losse euromunten bij zich heeft?
       
10. Het is het jaar 2016 en Nederland heeft de finale van het wereldkampioenschap voetbal gehaald. In deze finale tegen Italië is het 0-0 geworden en ook na verlenging is het nog steeds 0-0. Kortom: er worden strafschoppen genomen.
Nadat elk team 10 strafschoppen heeft genomen is de stand nog steeds gelijk.

We gaan nu "Sudden Death" spelen. Dat betekent dat steeds na 2 strafschoppen (één van elk team) er gekeken wordt of er al een winnaar is. Als dat zo is, is het afgelopen,  anders komen de volgende twee strafschoppen.
  De kans dat een speler van Nederland scoort is 63%, voor Italië is dat 82%
       
  Voor zo'n serie van twee strafschoppen blijkt de volgende tabel te gelden:
       
 
Gebeurtenis Kans
Italië wint 0,30
Nederland wint 0,11
Geen beslissing 0,58
       
  a. Bereken deze kansen in vier decimalen nauwkeurig
       
  b. Bereken de kans dat Italië na drie series of minder van Nederland wint.
       
  c. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat Nederland uiteindelijk wint.
       
11. Een vaas bevat evenveel rode als blauwe knikkers (minstens 4 in totaal).
Je haalt er 4 uit en berekent de kans op 2 roden.
Dat kun je doen zonder terugleggen, maar ook met terugleggen, en dat geeft twee verschillende kansen.
Als je het aantal knikkers laat toenemen, dan worden deze twee kansen langzaam aan elkaar gelijk. Voor welk totaal aantal knikkers in de vaas is het verschil tussen deze beide kansen voor het eerst minder dan 1%?
     
12. Een kaartspel bestaat uit 16 plaatjes (AHVB van elke soort) en 36 niet-plaatjes (T98765432 van elke soort).
Een volledig kaartspel wordt geschud zodat alle kaarten willekeurig door elkaar zitten.
Hoe groot is de kans dat in de stapel kaarten die je dan hebt er nergens 2 plaatjes naast elkaar zitten?
       
 
hint:   leg de niet-plaatjes op een rij, op hoeveel manieren kunnen de plaatjes daartussen?
       
13. examenvraagstuk VWO, 1983
       
  Een vaas bevat twee gele, drie rode en vijf blauwe knikkers.
       
  a. Men trekt aselect in één greep drie knikkers uit de vaas en legt ze terug in de vaas.
Dit experiment voert men tien maal uit.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat er bij deze tien grepen precies vier grepen zijn waarin geen blauwe knikker voorkomt.
       
  b. Men trekt aselect in één greep vier knikkers uit de vaas.
Bereken de kans dat er evenveel gele als rode knikkers in de vaas achterblijven.
       
  c. Men trekt aselect en met terugleggen tien maal een knikker uit de vaas.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat er bij deze tien trekkingen precies drie maal een gele en precies drie maal een rode knikker getrokken wordt.
       
14. examenvraagstuk VWO, 1984
       
  Een vaas bevat n balletjes, genummerd van 1 tot en met n  (n ≥ 3)
Een aselecte greep van drie balletjes uit de vaas is een trekking.
Na een trekking worden de nummers van de getrokken balletjes genoteerd; daarna worden de getrokken balletjes teruggelegd in de vaas.
       
  a. Neem n = 12.
Bereken de kans dat in een trekking de som van de nummers kleiner is dan 11.
       
  b. Voor welke n geldt: de kans dat een trekking drie balletjes met drie opeenvolgende nummers oplevert is 1/100?
       
  c. Neem n = 6
Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat in vijf trekkingen het balletje met nummer 1 precies drie maal voorkomt en het balletje met nummer zes niet voorkomt.
       
15. In de M&M fabriek worden blauwe, oranje, gele, rode en groene M&M’s gemaakt. Van alle gemaakte M&M’s is  30% blauw, 20% oranje, 20% geel, 15% rood en 15% groen.
Om een zakje M&M’s te vullen worden willekeurig uit deze enorme voorraad  50 M&M’s gekozen om een zakje te vullen. Daardoor kan het aantal M&M’s van een kleur per zakje variëren.

       
  a. Leg uit waarom je dit probleem mag opvatten als een trekking met terugleggen.
       
  b.

Hoe groot is de kans dat er in dit zakje precies 10 oranje M&M’s zitten?
       
  Stel dat in het zakje uiteindelijk van elke kleur 10 stuks zitten

     
  c. Als je er dan willekeurig 5 M&M’s uithaalt, hoe groot is dan de kans op precies 2 blauwen?
       
16. Voor mij liggen 6 portemonnees met in elk 4 briefjes van €20  en  12 briefjes van  €10.
Ik ga willekeurig 6 briefjes pakken en wil graag precies €80 hebben.
Die briefjes kan ik op twee verschillende manieren pakken:
       
  1. Uit elke portemonnee 1 briefje
  2. Uit één portemonnee 6 briefjes.
       
  De kans dat ik bij methode 1 precies €80 heb is groter dan bij methode 2.
       
  a. Hoeveel groter?  
       
  Oh, wacht; er is nog een derde methode:  Kies willekeurig drie portemonnees uit en neem uit elke 2 briefjes.
       
  b. Hoe groot is nu de kans op precies €80?  
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)