© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
Kansen uit Kruistabellen.
 
Het mooiste is natuurlijk dat iemand anders al alle gegevens voor jou heeft verzameld en dat jij uit die gegevens alleen nog maar de kansen hoeft uit te rekenen.
Neem de volgende tabel waarvoor iemand aan heel veel mensen (om precies te zijn 4800) de schoenmaat en de lengte heeft gevraagd, en dat heeft gesplitst in de mogelijkheden  lengte > 185 cm en lengte £ 185 en schoenmaat ³ 43 en schoenmaat < 43.
Dat gaf het volgende resultaat:
   
  lengte tot.
> 185 cm  ≤185 cm
schoenmaat ≥ 43 1250 993 2243
< 43 302 2305 2607
tot. 1552 3298 4850
   
Zo'n tabel waar twee grootheden tegen elkaar zijn uitgezet heet een kruistabel.
Daaruit kun je allerlei kansen berekenen.
Bijvoorbeeld:
       
  vraag: hoe groot is de kans dat iemand langer dan 185 cm is?
  antwoord: dat zijn er  1552  van de  4850  dus de kans is  1552/4850 = 0,32
           
  vraag: hoe groot is de kans dat iemand schoenmaat kleiner dan 43 heeft?
  antwoord: dat zijn er  2607  van de 4850 dus de kans is 2607/4850 ≈ 0,54
           
  vraag: hoe groot is de kans dat iemand kleiner of gelijk aan 185 cm is, en schoenmaat minder dan 43 heeft?
  antwoord: dat zijn er  2305  van de 4850 dus de kans is  2305/4850 ≈ 0,48 
           
Allemaal direct uit die tabel af te lezen.

Voorwaardelijke kansen.

Het wordt interessanter als je wat "ingewikkelder" vragen gaat stellen, bijvoorbeeld:
           
  vraag: hoe groot is de kans dat iemand, die langer 185 cm is, schoenmaat  groter of gelijk aan 43 heeft?
           
Het venijn van deze vraag zit hem in het stukje  "die langer 185 cm is". 
Dat betekent namelijk dat al vaststaat dat de persoon langer dan 185 cm is. Het gaat niet om de kans op langer dan 185 cm, nee, we weten vooraf al zeker dat de persoon langer is dan 185 cm.

Zo'n kans, waarbij een bepaalde voorwaarde al vastligt heet een  voorwaardelijke kans.
Je noteert dat als volgt:
 

P(A\B)

is de kans op gebeurtenis A als gebeurtenis B al vastligt.

Je spreekt het uit als  "de kans op A, gegeven B"
 

Bij bovenstaande kans dat iemand, die langer 185 cm is, schoenmaat  groter of gelijk aan 43 heeft zou dus gelden
A:  de schoenmaat is groter dan 43
B:  een persoon is langer dan 185

Omdat B vastligt,  betekent dat dat alle personen kleiner dan 185 uit de tabel niet meer meedoen voor het berekenen van deze kans. De tabel ziet er dan zo uit:
           
  lengte    
> 185 cm  
schoenmaat ≥ 43 1250    
< 43 302    
tot. 1552    
           
Groter of gelijk aan schoenmaat 43 zijn er dus nu  1250 van de 1552, dus de kans is  1250/1552 ≈ 0,81.
Omdat dit een kans is die onder een bepaalde voorwaarde (> 185 cm) geldt, noemen we dit een voorwaardelijke kans. Later zullen we daar nog uitgebreid wat lessen aan besteden.

De volgende  vraag kan natuurlijk ook:
Ik kom iemand tegen, en zie meteen dat zijn schoenen minstens maat 43 hebben. Hoe groot is de kans dat hij langer is dan 185 cm?
Dat zou dan zijn  P(B\A)

Nu is de voorwaarde (dat wat al vast ligt) dat zijn schoenmaat minstens 43 is, dus nu valt iedereen met schoenmaat kleiner dan 43 af. Dan blijft dit over van de tabel:
           
  lengte tot.
> 185 cm  £185 cm
schoenmaat ³ 43 1250 993 2243
         
       
           
Langer dan 185 cm dat zijn er nu 1250 van de 2243,
dus de kans is  1250/2243 ≈ 0,56
 
 
 
OPGAVEN
           
1. In het voorexamenjaar gaan de leerlingen van HAVO VWO van een bepaalde school altijd op buitenlandse schoolreis.
Dit jaar zijn er drie bestemmingen:  Rome, Barcelona en Praag
Er is ook een aantal leerlingen dat niet meegaan.

In de volgende tabel staan van de leerlingen van drie klassen voor welke schoolreisbestemming ze zicvh hebben opgegeven.
           
 
  klas
H4A H4B VWO5 totaal
leeftijd Rome 4 6 11 21
Barcelona 12 8 4 24
Praag 6 14 3 23
NIET 3 1 4 8
totaal 25 29 22 76
           
  a. Hoe groot is de kans dat een willekeurige leerling naar Rome of naar Praag wil gaan?
           
  b. Hoe groot is de kans dat een leerling die niet in H4B zit, naar Rome op reis wil gaan?
           
  c. Hoe groot is de kans dat een willekeurige leerling niet naar Praag wil gaan en in VWO 5 zit?
     
  d. Hoe groot is de kans dat een leerling die in H4A of H4B zit, naar Barcelona wil gaan?
           
2. Hieronder staat van een aantal kinderen wat hun bloedgroep is, en ook wat de bloedgroep van hun moeder is.
           
 
  Bloedgroep Moeder
A 42% B 8% AB 3% O 47% totaal
Bloedgroep
Kind		 A 598 43 22 299 962
B 43 69 11 48 204
AB 14 54 5 12 85
O 285 75 14 513 887
totaal 940 241 52 872 2105
           
  a. Hoe groot is de kans dat van een willekeurig moeder-kind paar de moeder AB heeft en het kind A?
           
  b. Hoe groot is de kans dat een kind met bloedgroep O een moeder met bloedgroep B heeft?
           
  c. Hoe groot is de kans dat van een willekeurig moeder-kind paar de moeder en het kind dezelfde bloedgroep hebben?
           
  d. Hoe groot is de kans dat het kind van een willekeurige moeder moetb bloedgroep, zelf bloedgroep A heeft?
           
3. Een voetbalclub heeft drie soorten leden:   Jeugdleden (onder 18 jaar), Gewone leden (18 tm 49 jaar) en Seniorleden (boven de 50 jaar).
In de volgende tabel staan de aantallen mannen en vrouwen bij deze categoriën.
  jeugd gewoon senior totaal
vrouw 28 82 8 118
man 62 146 56 264
totaal 90 228 64 382
Bereken de kans dat:
     
a. een willekeurig lid vrouw is.
     
b. van deze clubleden een willekeurige gekozen man senior is.
     
c. een clublid dat jeugdlid is, een man is.
     
d. een willekeurig clublid geen jeugdlid is en ook geen man is.
       
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)