Laplace transformaties


Laplace-transformaties.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een Laplace-transformatie L(f) is als volgt gedefinieerd:

Bedenk nog een keer goed dat L(f) een functie van s is, en niet van x!! Voor die x moet je na primitiveren immers ∞ en 0 invullen...
Oké, de vraag van deze les is: Hoe berekenen we die integraal voor allerlei f(x)-vormen?

Laten we er maar gewoon een aantal berekenen, van vrij simpel naar steeds moeilijker.

Ik hoop wel dat je nog goed weet hoe partieel primitiveren werkt.

Ja? Echt waar??

Als dat niet zo is, en je zit maar wat op te scheppen, dan moet je beslist deze les eerst nog een keer doornemen!

Een heleboel voorbeelden deze keer:

Voorbeeld 1: L(1)

Denk erom dat dit alleen geldt als s > 0, want anders wordt e^-sx niet nul als x oneindig groot wordt.

Voorbeeld 2: L(x)

Daar is gebruik gemaakt van partieel primitiveren. Grenzen invullen: L(x) = (0 - 0) + (0 - -¹/_s2) = ¹/_s2
En ook deze geldt alleen voor s > 0......

Voorbeeld 3: L(x²)

Om deze te berekenen zul je zelfs twee keer partieel moeten primitiveren. 't Is maar goed dat dat zulk leuk werk is!

Grenzen invullen (s > 0): (0 - 0) + (0 - 0) + (0 - - ²/_s3) = ²/_s3

Voorbeeld 4: L(e^ax)

En die geldt dan uiteraard alleen maar als s > a zodat a - s < 0 want dan gaat e^{(a
- s)x}tenminste naar nul als x naar oneindig gaat.

Voorbeeld 5. L(sinx)

Die laatste integraal nog maar een keertje partieel primitiveren:

Maar kijk! Die integraal waar we mee begonnen die staat daar helemaal rechts wéér, alleen dan met ¹/_s2 ervoor.
Als je die integraal I noemt dan staat hierboven eigenlijk: I = ¹/_s2 - ¹/_s2 • I


1.	Toon aan dat de Laplace-transformatie van sinax gelijk is aan L(sinax) = ^a/_{(s² + a²)}
	Gebruik daarbij het resultaat van voorbeeld 5 hierboven.

2.	Toon aan dat de Laplace-transformatie van x³ gelijk is aan ⁶/_s4

Je ziet dat het vrij snel nogal veel werk wordt. En dan zijn hier ook nog slechts de simpelste Laplace-transformaties bekeken.
Meestal gebruiken wiskundigen een tabel waarin een groot aantal Laplace-transformaties staan uitgerekend in plaats van ze steeds allemaal elke keer weer zelf te berekenen (als ze dat zouden kunnen tenminste....)

Hier heb je zo'n tabel (tenminste een stukje ervan).

functie f	Laplace-transformatie L(f)
1	¹/_s
xⁿ
√x
sin(ax)
cos(ax)
xsin(ax)
xcos(ax)
e^ax
xⁿ• e^ax
sin (ax + b)
cos(ax + b)
e^at• sinbt
e^at• cosbt
e^at• sinhbt
e^at• coshbt