© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Laplace-transformaties bij een stelsel differentiaalvergelijkingen.
       
Dat gaat eigenlijk precies zo als bij een enkele differentiaalvergelijking.  Weet je nog hoe dat was?
       

       
Het enige verschil is dat je bij het vierde blok hierboven een stelsel vergelijkingen hebt met L(y1) en L(y2) en niet één vergelijking.
Het werkt zó bij stelsels:
       
Voorbeeld.    Los op:    y1' = 2y1 + y2  en  y2' = 6y1 + y2 + 1   met  y1(0) = 0  en  y2(0) = 1
Laplace transformatie:  
L(y1') = s • L(y1) - y1(0) = 2L(y1) + L(y2)   en   L(y2') = s • L(y2) - y2(0) = 6L(y1) + L(y2) + 1/s
De beginvoorwaarden invullen en herrangschikken  (de transformatie van 1 is 1/s):
L(y1) • (s - 2) - L(y2) = 0
-6L(y1)  + L(y2) • (s - 1) = 1 +  1/s
Dat is nu een stelsel van twee vergelijkingen met onbekenden L(y1) en L(y2)

Makkelijk op te lossen:     De eerste geeft  L(y2) = L(y1) • (s - 2) en dat kun je invullen in de tweede.
-6L(y1) +  L(y1)•(s - 2)(s - 1) = 1 +  1/s
L(y1) • (-6 + (s - 2)(s - 1))  =  1 + 1/s
L(y1) • (s2 - 3s - 4) = 1 + 1/s
L(y1) • s(s - 4)(s + 1) = s + 1
L(y1) = 1/s(s - 4)  
Breuksplitsen:   1/s(s - 4) = A/s + B/(s - 4)  geeft   A = -1/4 en B = 1/4
Dus L(y1) = -0,25/s + 0,25/(s - 4)
terugtransformeren:   y1 = -1/4  + 1/4e4x

Je kunt nu op dezelfde manier y2 vinden (y1 elimineren uit het stelsel).
Dat geeft   y2 = 1/2 + 1/2e4x    (doe dat zelf maar: je krijgt  L(y2) = (s² - s - 2)/s(s - 4)(s + 1)  om te breuksplitsen)

Nou was dit wel een eenvoudig voorbeeld omdat de vergelijkingen nogal simpel waren en er van alles wegviel, maar het gaat even om het idee....... toch?........
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)