tweestaps inductie

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Tweestaps inductie (leap-frog induction)

Er zijn ook inductiebewijzen die niet van n naar n + 1 gaan, maar van n naar n + 2.
Hier is er zo eentje:

Voor elke n > 3 bestaat er een n-hoek met niet allemaal gelijke zijden,
zodat som van de afstanden van een punt erbinnen naar alle zijden constant is.

(Voor n = 3 klopt dit niet, want de enige driehoek waarvoor de som van de afstanden naar de drie zijden constant is, is de gelijkzijdige driehoek.)
Voor n = 4 klopt de stelling wél: neem maar een willekeurige rechthoek!

De inductiestap:

Stel dat de stelling voor een bepaalde n-hoek geldt (zie hiernaast). Dan kiezen we een richting die niet evenwijdig is aan een zijde, en trekken in deze richting twee evenwijdige (blauwe) lijnen. Daarmee snijden we twee hoeken van de n-hoek af.

Dat geeft een n + 2-hoek. Het afsnijden kunnen we altijd wel zó regelen dat de twee nieuwe zijden niet even lang zijn.

De som van de afstanden van een punt van deze nieuwe figuur naar alle zijden is constant. Immers de som van de afstanden tot de "oude" zijden van de n-hoek is constant (de rode lijnen), en daar zijn nu twee nieuwe afstanden bijgekomen (de blauwe lijnen). Maar die zijn samen altijd precies gelijk aan de afstand tussen de twee evenwijdige lijnen. Dus de totale afstand blijft constant.
Daarmee is de inductiestap voltooid.

Maar ja, deze inductie gaat van n naar n + 2, dus moeten we als eerste stap niet alleen n = 4 (de rechthoek) controleren, maar óók n = 5.
Gelukkig is die makkelijk te vinden: begin maar met een gelijkzijdige driehoek en snij daar volgens de methode hierboven met twee evenwijdige lijnen twee hoeken af. Dat geeft een vijfhoek waarvoor de eigenschap geldt.


OPGAVEN

1.	Stelling: x² + y² = zⁿ heeft voor elke n een gehele oplossing voor x, y en z.
	a.	Toon aan dat de stelling klopt voor n = 1 en n = 2.

	b.	Maak een tweestapsinductie door de hele vergelijking met z²te vermenigvuldigen.