De afgeleide functie.
Neem als voorbeeld de grafiek van y = 0,2x3 + 4x
We gaan in een aantal punten de helling van deze grafiek berekenen.

Bijvoorbeeld x = 1  geeft de helling 4,6
en x = 2 geeft de helling 10,4
Als we zo nog even doorgaan levert dat de volgende tabel op:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
helling 9,4 6,4 4,6 4 4,6 6,4 9,4
   
Je kunt nu ook de grafiek die bij deze tabel hoort tekenen. Die grafiek stelt dus de helling van de formule y = 0,2x3 + 4 voor.
Die grafiek heet daarom heel toepasselijk de hellinggrafiek van de grafiek van f.
Dat geeft zoiets:

We gaan eens bekijken hoe je de vorm van die hellinggrafiek kunt afleiden uit de vorm van de grafiek van f zélf. Zonder al die lossen hellingen uit te rekenen.
Een paar dingen zul je hopelijk logisch vinden....
1.  Waar de grafiek van f een top heeft, snijdt zijn hellinggrafiek de x-as.
   
Immers in een top (of dal natuurlijk) van een grafiek is de helling nul (de raaklijn loopt horizontaal). Dus is de y van de hellinggrafiek nul, dus ligt de hellinggrafiek op de x-as. De volgende groene punten "horen bij elkaar".

2. Waar de grafiek van f  daalt, ligt zijn hellinggrafiek onder de x-as.
   
Immers als de grafiek daalt is de helling negatief, dus is de y van de hellinggrafiek negatief, dus ligt de hellinggrafiek onder de x-as.

3. Waar de grafiek van  f  het steilst daalt, heeft zijn hellinggrafiek een minimum.
   
Immers, als de grafiek daalt is de helling negatief, en als hij met meest daalt is de helling het meest negatief. Dat moet dan wel een minimum zijn (en we weten ook dat dat minimum onder de x-as zal zitten)

Andere namen...
Er zijn nog twee andere namen voor de hellingfunctie die bij een functie f  hoort, namelijk "afgeleide"  en  f '  (spreek uit:  f-accent)

hellingfunctie  = afgeleide = f '

   
Hieronder zie je vier grafieken  met daaronder vier hellinggrafieken.
Kun je verzinnen welke hellinggrafiek bij welke grafiek hoort?
   

 
antwoorden:    rood1-blauw2,  rood2-blauw4,  rood3 - blauw1,  rood4 - blauw3
   
Als je hier meer in wilt oefenen kan dat op deze website:  The big derivative puzzle (mathe-online.at)
   
De afgeleide met de Grafische Rekenmachine
   
De Grafische Rekenmachine heeft een optie waarmee je direct de afgeleide functie kunt plotten.
Dat scheelt een boel werk!

Je vindt de optie bij MATH  en dan nummer 8:  nDeriv(
 Het werkt als volgt: 

·  Zet eerst de functie waarvan je de afgeleide wilt plotten in Y1.
·  Zet dan bij Y2 via de optie nDeriv het volgende:  d/dX(Y1)|X=X    
    (die Y1 vind je bij VARS - Yvars - Function)

Dan is Y2 nu de afgeleide functie van Y1. 
Je kunt overwegen deze nDeriv nu helemaal onderaan bij Y0 te zetten zodat je hem steeds als je de afgeleide nodig hebt kunt gebruiken.
   
   
 
 
OPGAVEN
1. Hieronder staan drie grafieken van functies f.  Leg duidelijk uit wat de paarse stippen of paarse delen van de grafiek van f  betekenen voor de grafiek van de afgeleide,  f '.

2. Hieronder staan drie grafieken van hellingfuncties f ' .  Leg duidelijk uit wat de paarse stippen of paarse delen van de hellinggrafiek betekenen voor de grafiek van  f .
   

3. Schets van de grafiek hieronder de bijbehorende hellinggrafiek.
   

   
4. Een blogger heeft een vrij constant aantal volgers op het internet.
Totdat zij op een dag een populair filmpje plaatst dat erg veel aandacht trekt ("viral gaat").
Voor het aantal bezoekers van haar blogpagina geldt:
   
 

B(t) =  1,5x3 - 120t2 + 2400t + 7800
     
  B is het aantal bezoekers per dag, t de tijd in dagen met t = 0 op het moment dat zij het filmpje plaatst.
De formule is geldt voor t van 0 tot en met 40 dagen.
     
  a. Bewijs dat de baan in het eindpunt waar t = 40 horizontaal loopt en bereken vervolgens de hoogte
van dat eindpunt.
     
  b. Tussen de top en het eindpunt loopt grafiek eerst steiler naar beneden en daarna weer vlakker. Ergens daartussen ligt dus een punt waar de baan het steilst daalt. Bereken de coördinaten van dat punt.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)