© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De afgeleide van glogx.

Deze les gaan we de afgeleide van  glog(x) bekijken.

Laten we beginnen met de afgeleide van ln(x)
Voer in de GR in:
Y1 = ln(x)
Y2 =  d/dX(Y1)|X=X     (die Y1 vind je bij VARS - Yvars - Function)
Dan is de Y2  de afgeleide van ln(x).
Hieronder zie je een tabel met waarden daarvan en de grafiek daarvan,
   
x 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4
afgeleide van ln(x) 4 3 2 1 1/2 1/3 1/4

 
Nou, je hoeft denk ik geen wiskundig genie te zijn om aan die grafiek of aan die tabel te zien welke formule er bij de afgeleide van ln(x) hoort:

Je kunt het zelfs in één regel bewijzen:
elnx = x   dus de afgeleides zijn ook gelijk:   (elnx)'  = elnx • (lnx)'  = 1  dus dan is  (lnx)' = 1/elnx =  1/x.   q.e.d.
   
En met andere grondtallen gaat het precies zo.

Trouwens nou je de afgeleide van ln(x) eenmaal hebt kun je snel de afgeleide van  glog(x) opschrijven door gewoon de formule voor het veranderen van grondtal te gebruiken:
   
Conclusie:  

   
Denk om alle andere differentieerregels!
   
Natuurlijk kunnen deze twee nieuwe afgeleiden die we nu kennen gecombineerd worden met alle oude differentieerregels, zoals de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel.
   
Voorbeeld:  Geef de afgeleide functie van  f(x) =  2 + 3ln(4x - 1)

Oplossing:  met de kettingregel:   f '(x)  = 3 · 1/(4x - 1) · 4   = 12/(4x - 1)
   
Voorbeeld:  Geef de afgeleide functie van  f(x) =  3x · 2log(x)

Oplossing:  met de productregel:   f '(x)  = 3 · 2log(x) + 3x ·  1/(xln2)
Dat is trouwens gelijk aan  3 · 2log(x) + 3/ln2
   
 
 

 
   
1. Geef de afgeleide van de volgende functies:
           
a. f(x) = 3lnx - 2x d. f(x) = 2x - 4logx g.   f(x) = (lnx)3
           
b. f(x) = 2ln(4x + 3) e. f(x) = 2log(3x) + 2log(x) h.   f(x) = 2 - ln(x3)
           
c. f(x) = 2 +  x4 + 3lnx f. f(x) = 0,5log(1/x) i.    f(x) =  √(lnx)
2. In de zomer kan af en toe de hoeveelheid blauwalg in een meer erg sterk toenemen.
Blauwalgen zijn eigenlijk geen algen of wieren. Het zijn bacteriën. Een andere naam ervoor is cyanobacteriën. 
De vele blauwalgen kunnen een drijflaag vormen, en omdat de onderkant van die drijflaag afsterft, komen giftige stoffen (toxines) in het water terecht.
Rijkswaterstaat geeft informatie over het voorkomen van blauwalg aan stranden en in recreatieplassen.

Tijdens een zomer heeft men voor een recreatieplas de toename van blauwalg nauwkeurig bijgehouden en dat leverde het volgende model:
     
  B(d) =  20 + 12 · 2log(d + 2) - 0,8d

Daarin is B de oppervlakte van de blauwalg in m2  en  d de tijd in dagen  met t = 0 op 1 juni
     
  a. Bereken met behulp van de afgeleide functie de maximale oppervlakte die de blauwalg heeft gehad.
     
  b. Bereken met behulp van de afgeleide bij welk dagnummer de oppervlakte toeneemt met een snelheid van 3,5 m2/dag.
   
3. Een leerling van het VWO houdt een poosje bij hoeveel tijd zij voor een proefwerk leert en ook welk cijfer ze erop haalt.
Zij ontdekt dat hoe langer ze leert, hoe hoger het cijfer wordt, en ze stelt het volgende model op:

T = 9 - 10,3 × log(9,5 - C)

 Daarin is T de leertijd  in uren en C het behaalde cijfer.
Een handige formule, want zodra ze heeft bepaald welk cijfer ze wil halen kan ze direct met deze formule uitrekenen hoeveel uur ze moet leren!!
 

 
  a. Leg uit wat het maximaal haalbare cijfer voor deze leerling zal zijn.
           
  b. Met welke snelheid (uur per punt) neemt de leertijd  toe op het moment dat de leerlinge een 5,5 zal gaan halen?
Geef een algebraïsche berekening.
           
4. Elk seizoen als er weer een koude winter lijkt aan te komen neemt het aantal leden van de Friese-Elfsteden-Vereniging sterk toe (om trouwens aan het eind van datzelfde seizoen ook weer af te nemen).

Voor een bepaald seizoen heeft men (uiteraard na afloop) vastgesteld dat de toename is verlopen volgens een logaritmisch verband.
Men stelde vanaf 1 december voor dat seizoen het volgende model op:
   
 

N(t) = 7500 × log(x2 + 460)
   
  Daarin is N het aantal leden en t de tijd in dagen vanaf 1 december. De formule bleek ongeveer geldig te zijn tot 1 februari.
   
  a. Wanneer waren er dat seizoen voor het eerst meer dan 25000 leden?
         
  b. Met welke snelheid (leden per dag) veranderde het aantal op  1 januari?
         
  c. Op welk tijdstip groeide het aantal leden het snelst?
         
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)