© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
     
a. f(x) = 6x + 4lnx d. f(x) = 5x - 5logx g. f(x) = (lnx)2
             
  b. f(x) = 3ln(2x + 4) e. f(x) = 4log(x) + 4log(2x) h.  f(x) = 6 - ln(x2)
             
  c. f(x) = x3 + 3 - 2lnx f. f(x) = 4log(Öx) i f(x) =  ln(lnx)
       

  Als er een EK of WK voetbal plaatsvindt waaraan het Nederlands elftal deelneemt, dan neemt rond die tijd altijd de verkoop van oranje artikelen sterk toe.

Voor de verkoop van oranje vlaggetjes tijdens de EK van 1988 (gehouden van 10 - 25 juni) gold het volgende model:
   
 

V(t) = 20 + 8 × 3log(t + 1) - 1,1t
       
  Daarin is V de verkoop in duizenden euro's per dag en t de tijd in dagen met t = 0 op 1 mei 1988.
       
  a. Bereken met behulp van de afgeleide functie de maximale verkoop die er is geweest.
       
  b. Bereken met behulp van de afgeleide bij welk dagnummer de verkoop afnam met een snelheid van 500 euro per dag.
       
Een uitgever ontdekt dat hij van het genre "literaire roman" in Nederland meer boeken verkoopt als hij er meer reclame voor maakt.
Hij ontwikkelt het volgende model:     R = 17 - 10 × log (28 - V)

Daarin is V het aantal verkochte boeken (in duizenden) en R het bedrag dat aan reclame is besteed (in duizenden euro's).
Een handige formule, want zodra hij heeft bepaald hoeveel boeken hij wil verkopen kan hij direct met deze formule uitrekenen hoeveel euro er aan reclame betaald zal moeten worden!!
   
  a. Leg uit hoeveel boeken de uitgever maximaal zal kunnen verkopen.
       
  b. Met welke snelheid (euro's  per boek) neemt het reclamebedrag toe op het moment dat de uitgever 7000   boeken zal gaan verkopen?
Geef een algebraïsche berekening.
       
Dankzij een campagne voor "meer bewegen" neemt het aantal abonnementen op een sportschool in een stad snel toe. Bij benadering geldt de formule:   A(x) = 50 •  2log(x2 + 6)
Daarin is A het aantal abonnementen en x de tijd in dagen met x = 0 op het moment dat de campagne begint.
       
  a. Wanneer zullen er  voor het eerst meer dan 400 abonnementen zijn?
       
  b. Met welke snelheid (abonnementen per dag) verandert het aantal op x = 10?
       
  c. Op welk tijdstip groeit het aantal abonnementen het snelst?
       
MEER OPGAVEN
       
5. Het kenmerk van een "rage" is dat er van een bepaald artikel in korte tijd erg veel wordt verkocht, en dat daarna de belangstelling ervoor weer snel verdwijnt. Een wiskundig model voor een rage ziet er vaak uit als:
       
 

N(t) = alog(t + b) - ct

       
  Daarin zijn a, b en c positieve constanten. N is het aantal verkochte artikelen (in tientallen), en t is de tijd in dagen.
       
  a. Als er 80 artikelen worden verkocht op t = 0 dan moet gelden a8 = b .
Toon dat aan.
       
  Voor een bepaald artikel geldt  a = 1,1 en  b = 2 en  c = 1,2
       
  b. Bereken algebraïsch hoeveel artikelen er tijdens deze rage maximaal verkocht worden.
       
  c. Onderzoek voor deze rage na hoeveel dagen het aantal verkochte artikelen weer op het oorspronkelijke niveau is teruggekeerd.
       
6. Een bergbeklimmer gaat een berg aan de steile zijde beklimmen om daarna langs de vlakkere zijde weer naar beneden te wandelen.

De vorm van de berg is ongeveer gelijk aan de functie: 
h(x) = 1500 • log(5x + 1) - 100x

Hoe hoog is de berg? Geef een algebraïsche berekening.
       
 

       
7. Glas houdt altijd een deel van het licht dat er opvalt tegen. Gewoon helder glas absorbeert ongeveer 5% van het licht dat er opvalt.

Getint glas absorbeert meer licht, maar is dan ook duurder.. Het wordt veel gebruikt in ruiten van duurdere auto's en van kantoorgebouwen.
Je kunt de hoeveelheid licht die geabsorbeerd wordt nauwkeurig instellen door een ander soort glas te nemen of door een ruit dikker te maken.
Naarmate het glas meer licht absorbeert wordt de prijs ervan hoger.
Er is glas verkrijgbaar dat zelfs 90% van het licht absorbeert.
Een handelaar in getint glas hanteert de volgende vuistregel:      P = 80 × log(A) - 6

Daarin is P de prijs in euro's per m2 en  A de hoeveelheid licht die geabsorbeerd wordt in procenten  A loopt van 5 tot 90)

Bij welke percentage geabsorbeerd licht nemen de kosten per m2 toe met 1 euro per procent extra?
       
8. Een zware storm op de Zwarte Zee in
november 2007, waarbij vijf vrachtschepen gezonken zijn, was één van de grootste Russische ecologische rampen van de laatste jaren.  De meeste schepen kwamen in de problemen in de Straat van Kertsj, die de Zwarte Zee verbindt met de kleinere Azov-zee.

Een Russische olietanker brak in tweeën en verloor een grote hoeveelheid stookolie in de buurt van de Oekraïense haven Kertsj.
       
 

       
  Voor de hoeveelheid olie (H(t) in liters)  in de tanker geldt het volgende model (met t de tijd in uren met t = 0 op het moment van breken van de tanker): 
                                        H(t) = 40000 • 3-0,15t
       
  a. Bereken algebraïsch na hoeveel tijd nog 75% van de hoeveelheid olie in het schip aanwezig is.
       
  Deze formule voor H  is ook te schrijven als   log(H) = a + bt
       
  b. Toon dat aan en bereken de constanten a en b in twee decimalen nauwkeurig.
       
  De gearriveerde oliebestrijdingsvaartuigen konden per uur 500 liter olie uit zee verwijderen. De hoeveelheid olie in zee nam dus pas weer af vanaf het moment dat de snelheid waarmee de olie de zee instroomde minder was dan 500 liter/uur.
Op dat moment geldt dus  H'(t) = -500
       
  c. Leg uit waarom dat zo is, en bereken vervolgens algebraïsch de maximale hoeveelheid olie in zee.
       
9.

In de loop van de jaren is de prijs van een pakje sigarett en sterk gestegen in de hoop dat er dan minder van verkocht zouden worden. Dat is inderdaad zo.
Voor een prijs vanaf  €0,50 per sigaret blijkt bij een grote supermarkt het volgende model te gelden:

                                                   V = 12 - 8 × ln(2p)

Daarin is p de prijs in euro per sigaret en V het aantal verkochte sigaretten in duizenden per week.
       
 

       
  a. Bereken algebraïsch vanaf welke prijs per sigaret er geen sigaretten meer verkocht zullen worden.
       
  b. Bereken algebraïsch de helling van de grafiek van V bij  p = €1,20 en leg duidelijk uit wat dit getal voorstelt.
       
10.

Na het schudden begint een kaartspel meestal met het gelijk verdelen van de kaarten onder een aantal spelers. Neem aan dat bij een bepaald spel 16 verschillende kaarten gelijk verdeeld worden onder vier spelers A, B, C en D. Spelers A, B, C en D krijgen ieder dus vier kaarten.

In 1992 publiceerden de Amerikaanse wiskundigen Bayer en Dia conis een artikel over het schudden van kaarten.
Voor dit artikel hadden zij de meest gebruikte manier van schudden onderzocht, de zogeheten Riffle Shuffle (zie de foto).
       
 

       
 

Zij kwamen tot de conclusie dat het met deze schudtechniek niet mogelijk is een stapel kaarten écht willekeurig te maken, zoals bijvoorbeeld een computer dat wel kan.
Voor het spelen van een kaartspel is het goed genoeg als de kaarten “voldoende willekeurig” geschud zijn.

Bayer en Diaconis ontdekten tijdens hun onderzoek dat het aantal keren dat een stapel kaarten minstens geschud moet worden om als “voldoende willekeurig” bestempeld te worden, kan worden benaderd met de formule: 
A = 1,5 • 2log(n)

In deze formule is A het aantal keren dat een stapel van n kaarten minstens geschud moet worden om als “voldoende willekeurig” bestempeld te worden. A wordt naar boven afgerond op een geheel getal.

Het kaartspel jokeren wordt gespeeld met twee sets van 52 speelkaarten, aangevuld met in totaal 4 zogeheten jokers.
       
  a. Bereken hoe vaak de kaarten bij jokeren minstens geschud moeten worden volgens de formule van Bayer en Diaconis.
       
  Als het aantal te schudden kaarten toeneemt, neemt ook het aantal keren dat er minstens geschud moet worden toe. Dit aantal neemt echter steeds langzamer toe. Je kunt dit zien aan de afgeleide  dA/dn
       
  b. Stel de formule op van de afgeleide dA/dn en beredeneer aan de hand van deze formule, dus zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat A afnemend stijgend is.
       
 

In de meeste casino’s kun je het spel blackjack spelen. Dat wordt over het algemeen gespeeld met vier spellen kaarten (totaal 208 kaarten).
Het aantal keer dat zo’n groot aantal kaarten minstens geschud moet worden is helemaal niet zo groot: volgens de formule van Bayer en Diaconis slechts 12 keer. Dat is maar drie keer schudden meer dan bij één spel kaarten.

Volgens de formule van Bayer en Diaconis geldt in het algemeen: als het aantal kaarten vier keer zo groot wordt, hoeft er maar drie keer extra geschud te worden.
       
  c. Toon dit aan met behulp van de formule voor A en de rekenregels voor logaritmen zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden
       
11.

Bij het ontwerpen van touchscreens (aanraakschermen) voor moderne media als tablets en mobiele telefoons besteedt men veel aandacht aan het gebruiksgemak.
Gebruikers willen immers snel kunnen navigeren.
Op de foto zie je een touchscreen met een menu bestaande uit 20 knoppen.
De tijd die je nodig hebt om in een menu de juiste knop te vinden, hangt mede af van het aantal knoppen in het menu.
  Volgens de psycholoog Hick kun je deze benodigde tijd T berekenen met de formule:
                                        T(n) = b • 2log(n + 1)
   
  Hierbij is T de tijd in seconden, n het aantal knoppen in het menu en b een positieve constante die afhangt van de behendigheid van de gebruiker.
Pim is veel handiger met een touchscreen dan zijn vader. Hij kan in een menu met 16 knoppen even snel de juiste knop vinden als zijn vader in een menu met 4 knoppen. Dit betekent dat zijn b-waarde (bp) kleiner is dan de b-waarde van zijn vader (bv).
       
  a. Onderzoek of dit betekent dat de b-waarde van Pim precies half zo groot is als die van zijn vader
       
 

Sommige gebruikers vinden een menu met veel knoppen onoverzichtelijk.
Daarom deelt men een menu soms op in submenu's met minder knoppen.
Als er bijvoorbeeld in totaal 18 knoppen zijn, kan de ontwerper ervoor kiezen om:
  · één menu van 18 knoppen te maken
  · een menu met 3 knoppen te maken, waarbij na elk van de 3 mogelijke keuzes weer een submenu met 6 knoppen verschijnt.
       
  Uit de formule volgt dat één menu met alle knoppen altijd sneller werkt dan een opdeling in submenu's. Dus: één menu met p • q knoppen is altijd sneller dan een hoofdmenu met p knoppen gevolgd door p submenu's met elk q knoppen.
       
  b. Neem b = 1.           
Schrijf de formule voor T(p + q) als één logaritme en toon daarmee aan dat T(p) + T(q) altijd groter is dan T(p • q).
       
  c. Neem b = 1 en bereken de afgeleide dT/dn van T  voor n = 20
Leg duidelijk uit wat dit getal in praktijk voorstelt.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)