Andere machten....

 
Eerst maar even de regels voor differentiëren tot nu toe herhalen:
functie afgeleide wat gebeurt hier?
xn n • xn-1 zet de macht ervoor en maak hem eentje lager
x 1 eigenlijk 1 • x0
f + a f ' constante getallen + en - kun je weglaten
a • f a • f ' constante getallen  × en  ÷  schrijf je over
f + g f ' + g' losse stukken (+ en -) mag je apart differentiëren
f • g ??? eerst anders gaan schrijven!

Er zijn nog twee soorten machten die we niet hebben bekeken, en dat zijn gebroken en negatieve machten.
Het goede nieuws:

Je hoeft niets nieuws te leren!!!!!!

Wat blijkt namelijk:  de regel van  f '(x) = n • xn -1  blijkt ook gewoon te gelden voor negatieve en gebroken machten.
Het enige waar je mee moet uitkijken is die laatste differentieerregel hierboven.
Je moet alleen nog wel met deze machten kunnen rekenen.....
Een paar voorbeelden zal een boel duidelijk maken, hoop ik.
 
voorbeeld 1. :   Geef de afgeleide van y = √x
oplossing:
Bedenk dat √x = x0,5  dus volgens de basisregel van differentiëren geldt  f ' = 0,5 • x -0,5 .
Dat kun je nog mooier schrijven als 0,5/√x  = 1/2√x
Deze komt trouwens zo vaak voor dat ik hem als ik jou was uit mijn hoofd zou leren:
 
voorbeeld 2. :   Differentieer de functie  f(x) = 2/x
oplossing:
Bedenk dat  2/x = 2 • x -1  dus volgens de basisregel van differentiëren geldt  f ' = 2 • -1 • x -2
Dat kun je nog mooier schrijven als  -2 • x -2  =  -2/x²
 
voorbeeld 3. :  Geef de afgeleide van  y = x • √x.
oplossing:
Dat mag niet apart want er wordt vermenigvuldigd. Eerst moeten we x • √x schrijven als  x1 • x0,5 = x1,5
Dan is de afgeleide gelijk aan  1,5 • x0,5
Dat kun je nog mooier schrijven als  1,5√x
 
voorbeeld 4.:  Differentieer de functie  f(x) = 1/√x
oplossing:  Dat moet je eerst schrijven als  1/x0,5 = x -0,5
Dan is de afgeleide gelijk aan  -0,5 • x -1,5 
Dat kun je mooier schrijven als  -0,5/x1,5 = -0,5/x√x = -1/2x√x
 
voorbeeld 5. :  Differentieer de functie f(x) =  2x/x3
oplossing:  Dat moet je eerst schrijven als  2x • x -3 = 2x -2
Dan is de afgeleide gelijk aan  2 • -2 • x -3
Dat kun je mooier schrijven als   -4 • x -3  =  -4/x3
   
 
 
  OPGAVEN
1. Differentieer de volgende functies, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
         
a y = 3x2 + 5√x + 4x2 e. y = x√x + 6
         
b f(x) = 6 + 4/x5 f. y = 9x -  4/√x
         
c f(x) = 2x - 10√x g. f(x) = 6x/√x
         
d f(x) = 7x4 - x - 2x2√x h. y = 5√x/x3
2. Geef de afgeleide van de volgende functies, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
         
a. f(x) = x • (2√x - 5x) e. f(x) = (7 + x)/x3
         
b. y = x2 √x - 4x3 f. f(x) = x3 • 6/x5
         
c. y = 5/8x54 g.
         
d. y = (x2 + √x) • (x - √x) h. y = (8 - x)/√x
3. Er zijn veel soorten pijnstillers te koop met allemaal verschillende werkzame stoffen. Die tabletten zorgen voor een tijdelijke verhoging van hun werkzame stof  in je bloed. Na verloop van tijd raken ze uitgewekt.
Een bekend boorbeeld is aspirine met als werkzame stof acetylsalicylzuur
Een model dat het verloop van de concentratie acetylsalicylzuur in je bloed na inname van een tablet aspirine beschrijft is:

       

       
Daarin is A de hoeveelheid acetylsalicylzuur in je bloed (mg/liter) en t de tijd in uren met t = 3 als tijdstip van inname van de tablet aspirine.
       
a. Met welke snelheid neemt A direct na inname toe?
     
b. Bereken A'(4,5). Leg uit wat dit antwoord betekent voor de grafiek van A.
     
  c. De grafiek van A heeft als horizontale asymptoot de lijn A = 0,22. Leg duidelijk uit hoe je aan de formule van A ' kunt zien dat er zo'n horizontale asymptoot zal zijn.
     
d. Leg duidelijk uit hoe je aan de formule van A zelf kunt zien dat er zo'n horizontale asymptoot zal zijn.
   
4. De tijd tussen het inleveren van een pakketje bij PostNL en het afleveren van dat pakketje op het juiste adres noemt men de bezorgtijd.
De manager van een filiaal van PostNL ontdelt dat de gemiddelde bezorgtijd (B) van het filiaal afhangt van het aantal werknemers dat er zijn.
Als het aantal werknemers toeneemt zal de gemiddelde bezorgtijd eerst afnemen (omdat men nou eenmaal meer mensen heeft om te bezorgen), maar bij een te groot aantal werknemers neemt die gemiddelde bezorgtijd juist weer toe vanwege toenemende inefficiëntie.  Een te groot bedrijf geeft tragere communicatie, meer misverstanden maar ook minder verantwoordelijkheidsgevoel van de werknemers.
De filiaalmanager stelt bij benadering het volgende model op:
       
B(n) = 0,03n√n - 0,15n + 1,8
       
Daarin is B de bezorgtijd in dagen en n het aantal werknemer boven de 10 (dus n = 0 hoort bij 10 werknemers).
  In de figuur hiernaast zie je dat dit model aardig goed klopt met de metingen van de filiaalmanager (dat zijn de stippen uit de figuur).

Als de afgeleide van B negatief is dan betekent dat dat het bedrijf efficiënter gaat werken.
     
  a. Leg duidelijk uit waarom dat zo is.
     
  b. Bereken algebraïsch bij welke aantallen werknemers  het aannemen van een extra werknemer ervoor zorgt dat het bedrijf efficiënter gaat werken.
     
  c. Bereken algebraïsch bij welke aantallen werknemers het bedrijf efficiënter werkt dan bij 10 werknemers.
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)